Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4\) và điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) thuộc đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 1 + t\\z = 2\end{array} \right.\). Ba điểm phân biệt \(A,B,C\) cùng thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho \(MA,MB,MC\) là ba tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(D\left( {1;2;1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {a;b;1} \right)\).

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Giá trị của \(a + b\) bằng _______.

Tọa độ điểm \(M\) là ( _______; _______; 2).

Đáp án

Giá trị của \(a + b\) bằng 1 .

Tọa độ điểm \(M\) là ( 2 ; 0 ; 2).

Giải thích

Vì \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right) \in d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - t}\\{y = 1 + t{\rm{\;n\^e n\;}}{x_0} + {y_0} + {z_0} = \left( {1 - t} \right) + \left( {1 + t} \right) + 2 = 4.}\\{z = 2}\end{array}} \right.\)

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4\) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \(R = 2\).

Vì \(MA,MB,MC\) là tiếp tuyến của mặt cầu \(\left( S \right)\) nên \(MO\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Gọi \(H = MO \cap \left( {ABC} \right)\) suy ra \(AH \bot MO\).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(D\left( {1;2;1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OM}  = \left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) nên có phương trình là: \({x_0}\left( {x - 1} \right) + {y_0}\left( {y - 2} \right) + {z_0}\left( {z - 1} \right) = 0\).

Vì \(MA\) là tiếp tuyến của mặt cầu \(\left( S \right)\) nên \(MA \bot OA\) hay tam giác \(MAO\) vuông tại \(A\). Suy ra \(OH.OM = O{A^2} = {R^2} = 4\).

Ta có: \(OH = d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| { - {x_0} - 2{y_0} - {z_0}} \right|}}{{\sqrt {x_0^2 + y_0^2 + z_0^2} }} = \frac{{\left| {{y_0} + 4} \right|}}{{OM}}\) suy ra \(OH.OM = \left| {{y_0} + 4} \right|\).

Do đó \({y_0} = 0\).

Với \({y_0} = 0 \Rightarrow t =  - 1\) suy ra điểm \(M\left( {2;0;2} \right)\).

Kiểm tra lại, với \(M\left( {2;0;2} \right)\) khi đó \(OM = 2\sqrt 2 ,OH = \frac{{\left| {0 + 4} \right|}}{{OM}} = \frac{4}{{2\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(2\left( {x - 1} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\) hay \(x + z - 2 = 0\).

\( \Rightarrow a = 1;b = 0 \Rightarrow a + b = 1\).

Mặt khác, \(MH = d\left( {M,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 2 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 \).

Ta có \(OH + MH = OM\) nên điểm \(H\) nằm giữa hai điểm \(O\) và \(M\) (thỏa mãn).

Vậy có duy nhất điểm \(M\left( {2;0;2} \right)\) thỏa mãn ycbt.