Cho hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} + a{x^2} + bx + c\) có bảng biến thiên như hình bên. Hỏi có bao nhiêu số dương trong các hệ số \(a,b,c\)?

a) Gọi hàm số bậc hai biểu thị độ cao \(h(m)\) theo thời gian \(t(s)\) là: \(h = f(t) = a{t^2} + bt + c\;(a < 0)\).

Theo giả thiết, quả bóng được đá lên từ mặt đất, nghĩa là \(f(0) = c = 0\), do đó \(f(t) = a{t^2} + bt\).

Sau 2s, quả bóng lên đến vị trí cao nhất là 8m nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - \frac{b}{{2a}} = 2}\\{f(2) = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = - 4a}\\{4a + 2b = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = - 4a}\\{ - 4a = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 2}\\{b = 8.}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy \(f(t) = - 2{t^2} + 8t\).

b) Độ cao của quả bóng sau khi đá lên được 3s là:

\(h = f(3) = - {2.3^2} + 8.3 = 6(m){\rm{. }}\)

c) Cách 1. Quả bóng chạm đất (trở lại) khi độ cao h = 0, tức là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t > 0}\\{ - 2{t^2} + 8t = 0}\end{array} \Leftrightarrow t = 4.} \right.\)

Vì thế sau 4s quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên.

Cách 2. Quỹ đạo chuyển động của quả bóng là một phần của cung parabol có trục đối xứng là đường thẳng \(t = 2\). Điểm xuất phát và điểm quả bóng chạm đất (trở lại) đối xứng nhau qua đường thẳng \(t = 2\). Vì thế sau \(4\;{\rm{s}}\) quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên.

Do đó ta chọn đáp án như sau

Gọi đường cong tương ứng với vành trên và vành dưới của máng lần lượt là \(({P_1})\) và \(({P_2})\).

Xét hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

Khi đó parabol \(({P_1})\) và \(({P_2})\) đều có dạng \(y = a{x^2} + b\)

\(\left( {{P_1}} \right)\) đi qua các điểm có tọa độ \(\left( { - 1,2;0} \right);\left( {1,2;0} \right);\left( {0;0,5} \right)\).

\(({P_2})\) đi qua các điểm có tọa độ \(\left( { - 1;0} \right);\left( {1;0} \right);\left( {0;0,3} \right)\).

Suy ra \[\;\left( {{P_1}} \right):y = - \frac{{25}}{{72}}{x^2} + \frac{1}{2}\] và \(\left( {{P_2}} \right):y = - \frac{3}{{10}}{x^2} + \frac{3}{{10}}\).

Diện tích mặt cắt của máng parabol là

\(S = 2\left[ {\int\limits_0^{1,2} {\left( { - \frac{{25}}{{72}}{x^2} + \frac{1}{2}} \right)dx} - \int\limits_0^1 {\left( { - \frac{3}{{10}}{x^2} + \frac{3}{{10}}} \right)dx} } \right] = \frac{2}{5}\left( {{m^2}} \right)\).

Vậy thể tích của khối silic làm 90 mặt máng là \(V = 90.\frac{2}{5}.3 = 108\left( {{m^3}} \right)\). Chọn B.