Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;0;1} \right),B\left( {2;1;2} \right),C\left( {1; - 1;2} \right),D\left( {6; - 1;0} \right)\).

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu	Đúng	Sai
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình \(x - y - z = 0\).
Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) bằng 2 đvtt.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) bằng \(\frac{{\sqrt {53} }}{2}\).

Đáp án

Giải thích

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {0; - 1;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2; - 1; - 1} \right) = \vec n\).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\) và nhận \(\vec n = \left( {2; - 1; - 1} \right)\) làm một vecto pháp tuyến có phương trình: \(2\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 0} \right) - \left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - z - 1 = 0\).

Ta có: \(\overrightarrow {AD}  = \left( {5; - 1; - 1} \right)\).

Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) là:

\(V = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{6}\left| {2.5 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right| = 2\) (đvtt).

Ta thấy \(\overrightarrow {BD}  = \left( {4; - 2; - 2} \right)//\vec n \Rightarrow BD \bot \left( {ABC} \right)\).

Mặt khác,  vuông tại \(A\)

\( \Rightarrow \) Bán kính đường tròn ngoại tiếp  là: \(r = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

\( \Rightarrow \) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) là:

\(R = \sqrt {{r^2} + \frac{{B{D^2}}}{4}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} + \frac{{{4^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}}}{4}}  = \frac{{\sqrt {29} }}{2}\).