Câu hỏi:

30/10/2024 1,786

Phần tư duy toán học

Cho hàm số $f\left( x \right) = x + {x^2} + {x^3} + \ldots + {x^{2024}}$. Tính $L = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}$.

A. $L = {2024.2^{2024}} + 1$.

B. $L = {2023.2^{2024}} + 1$.

C. $L = {2023.2^{2023}} + 1$.

D. $L = {2024.2^{2023}} + 1$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 20) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giải thích

Ta có : $f'\left( x \right) = 1 + 2x + 3{x^2} + \ldots + 2024{x^{2023}}$

$ \Leftrightarrow x.f'\left( x \right) = x + 2{x^2} + 3{x^3} + \ldots + 2024.{x^{2024}}$

$ \Leftrightarrow x.f'\left( x \right) = \left( {2x - x} \right) + \left( {3{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {4{x^3} - {x^3}} \right) + \ldots + \left( {2024.{x^{2023}} - {x^{2023}}} \right) + 2024.{x^{2024}}$

$ \Leftrightarrow x.f'\left( x \right) = \left( {1 + 2x + 3{x^2} + 4{x^3} + \ldots + 2024.{x^{2023}}} \right) - \left( {1 + x + {x^2} + {x^3} + \ldots + {x^{2023}}} \right) + 2024.{x^{2024}}$

$ \Leftrightarrow x.f'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \frac{{1 - {x^{2024}}}}{{1 - x}} + 2024.{x^{2024}}$

$ \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2024.{x^{2024}}}}{{x - 1}} + \frac{{1 - {x^{2024}}}}{{{{(x - 1)}^2}}}$.

Cách 2:

Nhận xét $x,{x^2},{x^3}, \ldots ,{x^{2024}}$ là cấp số nhân có số hạng đầu là $x$ và công bội là $x$.

Khi đó $f\left( x \right) = x + {x^2} + {x^3} + \ldots + {x^{2024}} = {S_{2024}} = \frac{{x\left( {{x^{2024}} - 1} \right)}}{{x - 1}}$

$ \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}.\left[ {{{\left( {x\left( {{x^{2024}} - 1} \right)} \right)}^{\rm{'}}}\left( {x - 1} \right) - x\left( {{x^{2024}} - 1} \right)} \right]$

$ = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}.\left[ {\left( {{x^{2024}} - 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 2024{x^{2024}}.\left( {x - 1} \right) - x\left( {{x^{2024}} - 1} \right)} \right]$

$ = \frac{{2024.{x^{2024}}}}{{x - 1}} + \frac{{1 - {x^{2024}}}}{{{{(x - 1)}^2}}}$

Vậy $L = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = f'\left( 2 \right) = {2024.2^{2024}} + 1 - {2^{2024}} = {2023.2^{2024}} + 1$.

Chọn B

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một người nông dân có một khu đất rất rộng dọc theo một con sông. Người đó muốn làm một hàng rào hình chữ ${\rm{E}}$ (như hình vẽ) để được một khu đất gồm hai phần đất hình chữ nhật để trồng rau và nuôi gà. Biết chi phí nguyên vật liệu của hàng rào $AB$ là 80 nghìn đồng/mét; phần hàng rào còn lại là 40 nghìn đồng/mét và tổng chi phí vật liệu là 20 triệu đồng.

$Một người nông dân có một khu đất rất rộng dọc theo một con sông. Người đó muốn làm một hàng rào hình chữ ${\rm{E}}$ (như hình vẽ) để được một khu đất gồm hai phần đất hình chữ nhật để trồng rau và nuôi gà. Biết chi phí nguyên vật liệu của hàng rào $AB$ là 80 nghìn đồng/mét; phần hàng rào còn lại là 40 nghìn đồng/mét và tổng chi phí vật liệu là 20 triệu đồng. (ảnh 1)$

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu

Đúng

Sai

Diện tích khu đất lớn nhất khi độ dài hàng rào $AD$ là 125 mét.

Diện tích khu đất lớn nhất khi chi phí nguyên vật liệu làm hàng rào $AB$ là 7 triệu đồng.

Diện tích khu đất lớn nhất bằng $5200{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án

Phát biểu	Đúng	Sai
Diện tích khu đất lớn nhất khi độ dài hàng rào $AD$ là 125 mét.		X
Diện tích khu đất lớn nhất khi chi phí nguyên vật liệu làm hàng rào $AB$ là 7 triệu đồng.	X
Diện tích khu đất lớn nhất bằng $5200{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$.		X

Giải thích

$Một người nông dân có một khu đất rất rộng dọc theo một con sông. Người đó muốn làm một hàng rào hình chữ ${\rm{E}}$ (như hình vẽ) để được một khu đất gồm hai phần đất hình chữ nhật để trồng rau và nuôi gà. Biết chi phí nguyên vật liệu của hàng rào $AB$ là 80 nghìn đồng/mét; phần hàng rào còn lại là 40 nghìn đồng/mét và tổng chi phí vật liệu là 20 triệu đồng. (ảnh 2)$

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là $x\left( m \right){\rm{\;}}(x > 0)$ và chiều dài của phần đất trồng rau và nuôi gà lần lượt là $a\left( m \right),b\left( m \right){\rm{\;}}(a > 0;b > 0)$.

Khi đó diện tích của khu đất là $S = \left( {a + b} \right)x\left( {{m^2}} \right)$.

Mặt khác theo giả thiết tổng chi phí là 20 triệu đồng nên ta có:

$3x.40000 + \left( {a + b} \right)80000 = 20000000 \Leftrightarrow 3x + 2\left( {a + b} \right) = 500$.

Ta có $6S = 3x.2\left( {a + b} \right) \le \frac{{{{[3x + 2\left( {a + b} \right)]}^2}}}{4} = \frac{{{{500}^2}}}{4} \Rightarrow S \le \frac{{31250}}{3}$.

$ \Rightarrow {{\rm{S}}_{{\rm{max}}}} = \frac{{31250}}{3} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = 125}\\{x = \frac{{250}}{3}\,\,\,}\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow $ Chi phí nguyên vật liệu làm hàng rào $AB$ là: $125.80000 = 10000000$ (đồng).

Câu 2

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Kẻ $AH,AK$ lần lượt vuông góc với $SB,SC$. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BCKH$ là $\left( {I;R} \right)$. Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Phát biểu

Đúng

Sai

Điểm $I$ nằm trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

$R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án

Phát biểu	Đúng	Sai
Điểm $I$ nằm trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.	X
$R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.	X

Giải thích

$Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Kẻ $AH,AK$ lần lượt vuông góc với $SB,SC$. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $A.BCKH$ là $\left( {I;R} \right)$. Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai? Phát biểu Đúng Sai Điểm $I$ nằm trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.   $R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.   (ảnh 1)$

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC;I$ là giao điểm của hai đường trung trực của hai đoạn thẳng $AB$ và $AC$.

Do $M$ là trung điểm của cạnh huyền trong tam giác vuông $AHB$ nên $MA = MB = MH$.

Có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SA \bot MI$, mà $MI \bot AB,AB \cap SA = A$ nên $MI \bot \left( {SAB} \right)$. Do đó $IA = IB = IH$.

Hoàn toàn tương tự, ta cũng chỉ ra được $IA = IC = IK$.

Do đó $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp $A.BCHK$.

Bán kính của mặt cầu này là $AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ (do tam giác $ABC$ đều cạnh $a$).

Câu 3

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 1)^2} = 2$. Gọi $\left( P \right),\left( Q \right)$ là hai mặt phẳng tiếp xúc với $\left( S \right)$ đồng thời vuông góc với nhau theo giao tuyến $d$ và $K$ là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu $\left( S \right)$ trên đường thẳng $d$. Diện tích tam giác $OIK$ lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? Biết $O$ là gốc tọa độ.

A. $\left( {1;\sqrt 3 } \right)$.

B. $\left( {2\sqrt 3 ;4} \right)$.

C. $\left( {\sqrt 5 ;3} \right)$.

D. $\left( {\sqrt 3 ;\sqrt 6 } \right)$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{1 - {x^2}}}$.

Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

Mệnh đề

Đúng

Sai

1) Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là $y = - 1$.

2) Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 2.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian $Oxyz$, cho phương trình mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 36$ và hai điểm $A\left( {1;2;2} \right),B\left( {1;3;4} \right)$. Gọi $M$ là một điểm di động trên mặt cầu $\left( S \right)$.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

$Trong không gian $Oxyz$, cho phương trình mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 36$ và hai điểm $A\left( {1;2;2} \right),B\left( {1;3;4} \right)$. Gọi $M$ là một điểm di động trên mặt cầu $\left( S \right)$. Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau: (ảnh 1)$

Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = 2MA - MB$ là $a\sqrt b $ với $a$ bằng _ và $b$ bằng _.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện $2f\left( x \right) - 3f\left( {1 - x} \right) = 4x - 1$, với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Kéo số thích hợp vào các chỗ trống sau:

$1) Biết $f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) = a$ (với $a$ là số nguyên). Giá trị của $a$ là _______. 2) Biết $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = b} $ (với $b$ là số nguyên). Giá trị của $b$ là _______. 3) Biết $\int\limits_0^1 {x.f'\left( x \right)dx} = \frac{c}{d}$ với $c,d$ là các số nguyên và $\left| {\frac{c}{d}} \right|$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức $c + d$ là _. (ảnh 1)$

1) Biết $f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) = a$ (với $a$ là số nguyên). Giá trị của $a$ là _.

2) Biết $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = b} $ (với $b$ là số nguyên). Giá trị của $b$ là _______.

3) Biết $\int\limits_0^1 {x.f'\left( x \right)dx} = \frac{c}{d}$ với $c,d$ là các số nguyên và $\left| {\frac{c}{d}} \right|$ là phân số tối giản.

Giá trị của biểu thức $c + d$ là _______.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Phát biểu	Đúng	Sai
Điểm \(I\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
\(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Mệnh đề	Đúng	Sai
1) Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là \(y = - 1\).
2) Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 2.

Phần tư duy toán học Cho hàm số \(f\left( x \right) = x + {x^2} + {x^3} + \ldots + {x^{2024}}\). Tính \(L = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}\).

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Phần tư duy toán học

Cho hàm số \(f\left( x \right) = x + {x^2} + {x^3} + \ldots + {x^{2024}}\). Tính \(L = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}\).