Phần tư duy toán học
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x + {x^2} + {x^3} + \ldots + {x^{2024}}\). Tính \(L = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Giải thích
Ta có : \(f'\left( x \right) = 1 + 2x + 3{x^2} + \ldots + 2024{x^{2023}}\)
\( \Leftrightarrow x.f'\left( x \right) = x + 2{x^2} + 3{x^3} + \ldots + 2024.{x^{2024}}\)
\( \Leftrightarrow x.f'\left( x \right) = \left( {2x - x} \right) + \left( {3{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {4{x^3} - {x^3}} \right) + \ldots + \left( {2024.{x^{2023}} - {x^{2023}}} \right) + 2024.{x^{2024}}\)
\( \Leftrightarrow x.f'\left( x \right) = \left( {1 + 2x + 3{x^2} + 4{x^3} + \ldots + 2024.{x^{2023}}} \right) - \left( {1 + x + {x^2} + {x^3} + \ldots + {x^{2023}}} \right) + 2024.{x^{2024}}\)
\( \Leftrightarrow x.f'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \frac{{1 - {x^{2024}}}}{{1 - x}} + 2024.{x^{2024}}\)
\( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2024.{x^{2024}}}}{{x - 1}} + \frac{{1 - {x^{2024}}}}{{{{(x - 1)}^2}}}\).
Cách 2:
Nhận xét \(x,{x^2},{x^3}, \ldots ,{x^{2024}}\) là cấp số nhân có số hạng đầu là \(x\) và công bội là \(x\).
Khi đó \(f\left( x \right) = x + {x^2} + {x^3} + \ldots + {x^{2024}} = {S_{2024}} = \frac{{x\left( {{x^{2024}} - 1} \right)}}{{x - 1}}\)
\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}.\left[ {{{\left( {x\left( {{x^{2024}} - 1} \right)} \right)}^{\rm{'}}}\left( {x - 1} \right) - x\left( {{x^{2024}} - 1} \right)} \right]\)
\( = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}.\left[ {\left( {{x^{2024}} - 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 2024{x^{2024}}.\left( {x - 1} \right) - x\left( {{x^{2024}} - 1} \right)} \right]\)
\( = \frac{{2024.{x^{2024}}}}{{x - 1}} + \frac{{1 - {x^{2024}}}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)
Vậy \(L = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = f'\left( 2 \right) = {2024.2^{2024}} + 1 - {2^{2024}} = {2023.2^{2024}} + 1\).
Chọn B
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án
|
Phát biểu |
Đúng |
Sai |
|
Diện tích khu đất lớn nhất khi độ dài hàng rào \(AD\) là 125 mét. |
X | |
|
Diện tích khu đất lớn nhất khi chi phí nguyên vật liệu làm hàng rào \(AB\) là 7 triệu đồng. |
X | |
|
Diện tích khu đất lớn nhất bằng \(5200{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\). |
X |
Giải thích
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là \(x\left( m \right){\rm{\;}}(x > 0)\) và chiều dài của phần đất trồng rau và nuôi gà lần lượt là \(a\left( m \right),b\left( m \right){\rm{\;}}(a > 0;b > 0)\).
Khi đó diện tích của khu đất là \(S = \left( {a + b} \right)x\left( {{m^2}} \right)\).
Mặt khác theo giả thiết tổng chi phí là 20 triệu đồng nên ta có:
\(3x.40000 + \left( {a + b} \right)80000 = 20000000 \Leftrightarrow 3x + 2\left( {a + b} \right) = 500\).
Ta có \(6S = 3x.2\left( {a + b} \right) \le \frac{{{{[3x + 2\left( {a + b} \right)]}^2}}}{4} = \frac{{{{500}^2}}}{4} \Rightarrow S \le \frac{{31250}}{3}\).
\( \Rightarrow {{\rm{S}}_{{\rm{max}}}} = \frac{{31250}}{3} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = 125}\\{x = \frac{{250}}{3}\,\,\,}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \) Chi phí nguyên vật liệu làm hàng rào \(AB\) là: \(125.80000 = 10000000\) (đồng).
Lời giải
Đáp án
|
Mệnh đề |
Đúng |
Sai |
|
1) Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là \(y = - 1\). |
X | |
|
2) Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 2. |
X |
Giải thích
|
Lí do lựa chọn phương án |
1 |
Đúng vì: Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{1 - {x^2}}} = - 1\) nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang \(y = - 1\). |
|
2 |
Đúng vì: Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{1 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - x}}{{x + 1}} = \frac{1}{2}\) nên \(x = 1\) không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{1 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} \frac{{2 - x}}{{x + 1}} = + \infty {\rm{. }}\) Khi đó, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng \(x = - 1\). |
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo