Giới hạn \(I = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \frac{{1 - {\rm{cos}}x.{\rm{cos}}2x.\,\, \ldots \,\,.{\rm{cos}}2024x}}{{{x^2}}}\) bằng (1) ________.

Đáp án

Giải thích

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là \(x\left( m \right){\rm{\;}}(x > 0)\) và chiều dài của phần đất trồng rau và nuôi gà lần lượt là \(a\left( m \right),b\left( m \right){\rm{\;}}(a > 0;b > 0)\).

Khi đó diện tích của khu đất là \(S = \left( {a + b} \right)x\left( {{m^2}} \right)\).

Mặt khác theo giả thiết tổng chi phí là 20 triệu đồng nên ta có:

\(3x.40000 + \left( {a + b} \right)80000 = 20000000 \Leftrightarrow 3x + 2\left( {a + b} \right) = 500\).

Ta có \(6S = 3x.2\left( {a + b} \right) \le \frac{{{{[3x + 2\left( {a + b} \right)]}^2}}}{4} = \frac{{{{500}^2}}}{4} \Rightarrow S \le \frac{{31250}}{3}\).

\( \Rightarrow {{\rm{S}}_{{\rm{max}}}} = \frac{{31250}}{3} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = 125}\\{x = \frac{{250}}{3}\,\,\,}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \) Chi phí nguyên vật liệu làm hàng rào \(AB\) là: \(125.80000 = 10000000\) (đồng).

Đáp án

Giải thích

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC;I\) là giao điểm của hai đường trung trực của hai đoạn thẳng \(AB\) và \(AC\).

Do \(M\) là trung điểm của cạnh huyền trong tam giác vuông \(AHB\) nên \(MA = MB = MH\).

Có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot MI\), mà \(MI \bot AB,AB \cap SA = A\) nên \(MI \bot \left( {SAB} \right)\). Do đó \(IA = IB = IH\).

Hoàn toàn tương tự, ta cũng chỉ ra được \(IA = IC = IK\).

Do đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp \(A.BCHK\).

Bán kính của mặt cầu này là \(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) (do tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\)).