Câu hỏi:

12/11/2024 274

Cho một cái hộp có nắp có dạng hình trụ có bán kính đáy là $10{\rm{\;cm}}$ và khoảng cách giữa hai đáy là $56{\rm{\;cm}}$. Thả các quả bóng có dạng hình cầu vào trong hộp sao cho các quả bóng tiếp xúc với thành hộp theo một đường tròn và tiếp xúc với nhau. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng song song với trục và cắt hình trụ theo thiết diện $ABCD$.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu

ĐÚNG

SAI

Thể tích của hộp là $5600\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$.

Hộp đựng được tối đa 4 quả bóng.

Để diện tích $ABCD$ bằng $80{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}$ thì khoảng cách từ trục đến mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\frac{{465}}{{49}}{\rm{\;cm}}$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 24) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án

Phát biểu	ĐÚNG	SAI
Thể tích của hộp là $5600\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$.	X
Hộp đựng được tối đa 4 quả bóng.		X
Để diện tích $ABCD$ bằng $80{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}$ thì khoảng cách từ trục đến mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\frac{{465}}{{49}}{\rm{\;cm}}$.		X

Giải thích

Thể tích của hộp là $V = \pi {R^2}h = \pi \cdot {10^2}.56 = 5600\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$.

Tổng chiều cao của $n$ quả bóng thả trong hộp là: $2nR = 2n.10 = 20n$.

Ta có: $20n \le 56 \Leftrightarrow n \le 2,8$.

Vậy hộp chỉ đựng được tối đa 2 quả bóng.

$Cho một cái hộp có nắp có dạng hình trụ có bán kính đáy là $10{\rm{\;cm}}$ và khoảng cách giữa hai đáy là $56{\rm{\;cm}}$. Thả các quả bóng có dạng hình cầu vào trong hộp sao cho các quả bóng tiếp xúc với thành hộp theo một đường tròn và tiếp xúc với nhau. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng song song với trục và cắt hình trụ theo thiết diện $ABCD$. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai? Phát biểu ĐÚNG SAI Thể tích của hộp là $5600\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$.   Hộp đựng được tối đa 4 quả bóng.   Để diện tích $ABCD$ bằng $80{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}$ thì khoảng cách từ trục đến mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\frac{{465}}{{49}}{\rm{\;cm}}$.   (ảnh 1)$

Vì $\left( P \right)//OO'$ nên $d\left( {OO';\left( P \right)} \right) = d\left( {O;\left( P \right)} \right) = OH$ (với $H$ là trung điểm cạnh $AB$)

Ta có: ${S_{ABCD}} = 80 \Leftrightarrow AB.AD = 80 \Leftrightarrow AB = \frac{{10}}{7}\left( {AD = h = 56} \right)$

$ \Leftrightarrow 2BH = \frac{{10}}{7} \Leftrightarrow \sqrt {{R^2} - O{H^2}} = \frac{5}{7} \Leftrightarrow OH = \frac{{5\sqrt {149} }}{7}\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'\left( x \right)$ như hình vẽ. Đặt $g\left( x \right) = f\left( {x - m} \right) - \frac{1}{2}{(x - m - 1)^2} + 2023$, với $m$ là tham số thực. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số $y = g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {5;6} \right)$. Tổng tất cả các phần tử trong $S$ bằng (1) .

$Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'\left( x \right)$ như hình vẽ. Đặt $g\left( x \right) = f\left( {x - m} \right) - \frac{1}{2}{(x - m - 1)^2} + 2023$, với $m$ là tham số thực. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số $y = g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {5;6} \right)$. Tổng tất cả các phần tử trong $S$ bằng (1) . (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án: “14”

Giải thích

Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( {x - m} \right) - \frac{1}{2}{(x - m - 1)^2} + 2023$.

$g'\left( x \right) = f'\left( {x - m} \right) - \left( {x - m - 1} \right)$. Xét phương trình $g'\left( x \right) = 0{\rm{\;}}$ (1).

Đặt $x - m = t$, phương trình (1) trở thành $f'\left( t \right) - \left( {t - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) = t - 1{\rm{\;}}$ (2).

Nghiệm của phương trình $\left( 2 \right)$ là hoành độ giao điểm của hai đồ thị $y = f'\left( t \right)$ và $y = t - 1$.

Ta có đồ thị các hàm số $y = f'\left( t \right)$ và $y = t - 1$ như sau:

$Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y = f'\left( x \right)$ như hình vẽ. Đặt $g\left( x \right) = f\left( {x - m} \right) - \frac{1}{2}{(x - m - 1)^2} + 2023$, với $m$ là tham số thực. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số $y = g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {5;6} \right)$. Tổng tất cả các phần tử trong $S$ bằng (1) ________. (ảnh 2)$

Căn cứ đồ thị các hàm số thì phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm là $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 1}\\{t = 1}\\{t = 3}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = m - 1}\\{x = m + 1}\\{x = m + 3}\end{array}} \right.} \right.$

Ta có bảng biến thiên của $y = g\left( x \right)$ như sau:

Để hàm số $y = g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {5;6} \right)$ thì $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1 \le 5}\\{m + 1 \ge 6}\end{array}} \right.}\\{m + 3 \le 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 \le m \le 6}\\{m \le 2}\end{array}} \right.$

Vì $m \in \mathbb{N}{\rm{*}} \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;5;6} \right\} \Rightarrow S = 14$.

Câu 2

Một cửa hàng điện máy có doanh số bán lẻ tivi mỗi năm là 2500 chiếc. Chi phí lưu kho của mỗi chiếc tivi là 200 nghìn đồng một năm. Để đặt hàng nhà sản xuất, mỗi lần cửa hàng cần đặt cọc cố định là 10 triệu đồng và sau khi nhập hàng thì cần trả thêm 3 triệu đồng mỗi chiếc tivi. Biết rằng số lượng tivi trung bình gửi trong kho bằng một nửa số tivi của mỗi lần đặt hàng. Cửa hàng nên đặt hàng nhà sản xuất (1) _ lần mỗi năm và mỗi lần đặt (2) __ chiếc tivi để chi phí hàng tồn kho là thấp nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án

Một cửa hàng điện máy có doanh số bán lẻ tivi mỗi năm là 2500 chiếc. Chi phí lưu kho của mỗi chiếc tivi là 200 nghìn đồng một năm. Để đặt hàng nhà sản xuất, mỗi lần cửa hàng cần đặt cọc cố định là 10 triệu đồng và sau khi nhập hàng thì cần trả thêm 3 triệu đồng mỗi chiếc tivi. Biết rằng số lượng tivi trung bình gửi trong kho bằng một nửa số tivi của mỗi lần đặt hàng. Cửa hàng nên đặt hàng nhà sản xuất (1) ___5___ lần mỗi năm và mỗi lần đặt (2) __500__ chiếc tivi để chi phí hàng tồn kho là thấp nhất.

Giải thích

Gọi $x$ là số tivi mỗi lần đặt hàng $\left( {x \in \mathbb{N},x \in \left[ {1;2500} \right]} \right)$.

Khi đó, số lượng tivi trung bình gửi trong kho sẽ là $\frac{x}{2}$. Do đó, chi phí gửi hàng trong kho mỗi năm sẽ là $0,2.\frac{x}{2} = \frac{x}{{10}}$.

Số lần đặt hàng mỗi năm sẽ là $\frac{{2500}}{x}$.

Do đó chi phí đặt hàng mỗi năm sẽ là $\left( {10 + 3x} \right).\frac{{2500}}{x} = \frac{{25000}}{x} + 7500$.

Suy ra, chi phí hàng tồn kho là $C\left( x \right) = \frac{x}{{10}} + \frac{{25000}}{x} + 7500$.

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của $C\left( x \right)$ với $x \in \left[ {1;2500} \right]$.

Ta có: $C'\left( x \right) = \frac{1}{{10}} - \frac{{25000}}{{{x^2}}},C'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 500}\\{x = - 500\left( L \right)}\end{array}} \right.$

Bảng biến thiên:

Một cửa hàng điện máy có doanh số bán lẻ tivi mỗi năm là 2500 chiếc. Chi phí lưu kho của mỗi chiếc tivi là 200 nghìn đồng một năm. Để đặt hàng nhà sản xuất, mỗi lần cửa hàng cần đặt cọc cố định là 10 triệu đồng và sau khi nhập hàng thì cần trả thêm 3 triệu đồng mỗi chiếc tivi. Biết rằng số lượng tivi trung bình gửi trong kho bằng một nửa số tivi của mỗi lần đặt hàng. Cửa hàng nên đặt hàng nhà sản xuất (1) _______ lần mỗi năm và mỗi lần đặt (2) ________ chiếc tivi để chi phí hàng tồn kho là thấp nhất. (ảnh 1)

Vậy $\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {1;2500} \right]} C\left( x \right) = C\left( {500} \right) = 7600$

Khi đó số lần đặt hàng mỗi năm sẽ là $\frac{{2500}}{{500}} = 5$ lần.

Vậy để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất thì cửa hàng cần đặt hàng 5 lần mỗi năm và 500 cái mỗi lần.

Câu 3

Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có 20 cạnh. Xét tam giác có đúng 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của (H).

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau

Có ___ tam giác có đúng 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của (H).

Có _ tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của (H).

Có _ tam giác có đúng một cạnh là cạnh của (H).

Có ___ tam giác không có cạnh nào là cạnh của (H).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Diện tích mặt tròn xoay tạo thành khi quay đường cong $f\left( x \right)$ quanh trục hoành giới hạn giữa hai mặt phẳng $x = a,x = b$ được tính bởi công thức $S = 2\pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|\sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} {\rm{\;d}}x} $.

Một bình hoa có dạng hình cầu khuyết như hình vẽ. Biết đường kính của bình hoa là $20{\rm{\;cm}}$ và đường kính đáy/miệng của bình hoa là $12{\rm{\;cm}}$. Diện tích tráng men mặt ngoài (kể cả đáy) của bình hoa bằng (1) _________ $c{m^2}$. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

$Diện tích mặt tròn xoay tạo thành khi quay đường cong $f\left( x \right)$ quanh trục hoành giới hạn giữa hai mặt phẳng $x = a,x = b$ được tính bởi công thức $S = 2\pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|\sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} {\rm{\;d}}x} $. Một bình hoa có dạng hình cầu khuyết như hình vẽ. Biết đường kính của bình hoa là $20{\rm{\;cm}}$ và đường kính đáy/miệng của bình hoa là $12{\rm{\;cm}}$. Diện tích tráng men mặt ngoài (kể cả đáy) của bình hoa bằng (1) _________ $c{m^2}$. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Phát biểu sau đúng hay sai?

Khi tách hai chất lỏng tan vào nhau bằng phương pháp chưng cất, tính chất vật lí được quan tâm là tính tan của các chất trong dung môi.

A. Đúng

B. Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}$ và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của ${\rm{S}}$ bằng

A. $S = {\rm{ln}}2 - 1$.

B. $S = 2{\rm{ln}}2 - 1$.

C. $S = 2{\rm{ln}}2 + 1$

D. $S = {\rm{ln}}2 + 1$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Với số nguyên dương $n$, gọi ${a_{3n - 3}}$ là hệ số của ${x^{3n - 3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{(x + 2)^n}$. Tìm $n$ để ${a_{3n - 3}} = 26n$.

A. n = 6.

B. n = 7.

C. n = 5.

D. n = 4.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Phát biểu sau đúng hay sai?

Khi tách hai chất lỏng tan vào nhau bằng phương pháp chưng cất, tính chất vật lí được quan tâm là tính tan của các chất trong dung môi.

Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của \({\rm{S}}\) bằng

Với số nguyên dương \(n\), gọi \({a_{3n - 3}}\) là hệ số của \({x^{3n - 3}}\) trong khai triển thành đa thức của \({\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{(x + 2)^n}\). Tìm \(n\) để \({a_{3n - 3}} = 26n\).