Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{2x - 3}}\) \[\left( C \right)\].

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^ + }} \frac{{x - 1}}{{2x - 3}} = + \infty \) nên tiệm cận đứng của hàm số là \(x = \frac{3}{2}\).

b) Hàm số có 1 tiệm cận đứng là \(x = \frac{3}{2}\) và 1 tiệm cận ngang là \(y = \frac{1}{2}\), nên tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận là \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\). Rõ ràng I thuộc đường thẳng \(x - y - 1 = 0\).

c) Tọa độ điểm A: \(x = \frac{3}{2} \Rightarrow y = - 2\) suy ra \(A\left( {\frac{3}{2}; - 2} \right)\).

Tọa độ điểm B: \(y = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4}\) suy ra \(B\left( {\frac{1}{4};\frac{1}{2}} \right)\).

\[\overrightarrow {IA} \left( {0; - \frac{5}{2}} \right) \Rightarrow IA = \frac{5}{2}\]; \[\overrightarrow {IB} \left( {\frac{{ - 5}}{4};0} \right) \Rightarrow IB = \frac{5}{4}\]; \[{S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}IA.IB = \frac{1}{2}.\frac{5}{4}.\frac{5}{2} = \frac{{25}}{{16}}\].

d) Tọa độ giao điểm \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

Gọi tọa độ tiếp điểm là \(\left( {{x_0};\frac{{{x_0} - 1}}{{2{x_0} - 3}}} \right)\).

Khi đó phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) với đồ thị hàm số tại điểm \(\left( {{x_0};\frac{{{x_0} - 1}}{{2{x_0} - 3}}} \right)\) là:

\(y = - \frac{1}{{{{\left( {2{x_0} - 3} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} - 1}}{{2{x_0} - 3}} \Leftrightarrow x + {\left( {2{x_0} - 3} \right)^2}y - 2x_0^2 + 4{x_0} - 3 = 0\).

Khi đó: \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\frac{3}{2} + \frac{1}{2}{{\left( {2{x_0} - 3} \right)}^2} - 2x_0^2 + 4{x_0} - 3} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( {2{x_0} - 3} \right)}^4}} }} = \frac{{\left| { - 2{x_0} + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( {2{x_0} - 3} \right)}^4}} }} \le \frac{{\left| {2{x_0} - 3} \right|}}{{\sqrt {2{{\left( {2{x_0} - 3} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

(Theo bất đẳng thức Cô si)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {2{x_0} - 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x_0} - 3 = 1\\2{x_0} - 3 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = 1\end{array} \right.\).

Vậy \(\max d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).