Nam làm một chiếc hộp không nắp dạng hình hộp chữ nhật bằng bìa carton có thể tích \(3{\rm{ d}}{{\rm{m}}^3}\). Biết tỉ số giữa chiều cao \(h\) và chiều rộng đáy \(y\) bằng \(4\). Xác định chiều dài \(x\) để lượng bìa cần sử dụng là ít nhất.

 

Theo đề bài, tỉ số giữa chiều cao \(h\) và chiều rộng đáy \(y\) bằng \(4\) nên \(h = 4y\).

Thể tích chiếc hộp \(3{\rm{ d}}{{\rm{m}}^3}\) nên \(xyh = 3{\rm{ }}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}} \right)\) hay \(4x{y^2} = 3\), suy ra \(x = \frac{3}{{4{y^2}}}\).

Do chiếc hộp không nắp, do đó diện tích bìa cần dùng là tổng diện tích đáy hộp và diện tích xung quanh của hộp.

Ta có: \(S = xy + 2h\left( {x + y} \right) = \frac{3}{{4{y^2}}} \cdot y + 2 \cdot 4y \cdot \left( {\frac{3}{{4{y^2}}} + y} \right)\)

              \( = \frac{3}{{4y}} + \frac{6}{y} + 8{y^2} = \frac{{27}}{{4y}} + 8{y^2} = \frac{{27}}{{8y}} + \frac{{27}}{{8y}} + 8{y^2}\).

Do \(y\) là chiều rộng của hộp nên \(y > 0\).

Do đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số \(\frac{{27}}{{8y}}\,;\,\,\frac{{27}}{{8y}}\,;\,\,8{y^2}\) không âm, ta được:

\(\frac{{27}}{{8y}} + \frac{{27}}{{8y}} + 8{y^2} \ge 3 \cdot \sqrt[3]{{\frac{{27}}{{8y}} \cdot \frac{{27}}{{8y}} \cdot 8{y^2}}}\), suy ra \(S \ge \frac{{27}}{2}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{{27}}{{8y}} = 8{y^2}\), hay \({y^3} = \frac{{27}}{{64}}\) nên \(y = \frac{3}{4}\) (dm).

Do đó, \(x = \frac{3}{{4{y^2}}} = \frac{3}{{4 \cdot {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}}} = \frac{4}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{dm}}} \right)\).

Vậy lượng bìa cần dùng ít nhất có diện tích là \(\frac{{27}}{2}{\rm{ }}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)\) khi chiều dài \(x = \frac{4}{3}\) dm.