Câu hỏi:
12/12/2024 529
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\),\(B\left( {0;1;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;1} \right)\). Điểm \(M\)là điểm thỏa mãn \(P = M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\),\(B\left( {0;1;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;1} \right)\). Điểm \(M\)là điểm thỏa mãn \(P = M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\).
Câu hỏi trong đề:
Đề thi cuối kì 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi \[M\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;y;z} \right)\\\overrightarrow {BM} = \left( {x;y - 1;z} \right)\\\overrightarrow {CM} = \left( {x;y;z - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{M^2} = {(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2}\\B{M^2} = {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2}\\C{M^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2}\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\]\[ = \left[ {{{(x - 1)}^2} + {y^2} + {z^2}} \right] + 2\left[ {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {z^2}} \right] - \left[ {{x^2} + {y^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right]\]
\[ = 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2x - 4y + 2z + 2\]\[ = 2{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} + 2{\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} - 1 \ge - 1\].
\( \Rightarrow {P_{\min }} = - 1 \Leftrightarrow \)\[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = 1\\z = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow M\left( {\frac{1}{2};1; - \frac{1}{2}} \right)\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát \(2,5{\rm{\;km}}\) về phía nam và \({\rm{2\;km}}\) về phía đông, đồng thời cách mặt đất \(0,8{\rm{\;km}}\). Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát \(1,5{\rm{\;km}}\) về phía bắc và \(3{\rm{ km}}\) về phía tây, đồng thời cách mặt đất \(0,6{\rm{\;km}}\). Người ta cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu cho hai khinh khí cầu sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó tới hai khinh khí cầu nhỏ nhất. Giả sử vị trí cần tìm cách địa điểm hai khinh khí cầu bay lên là \(a\,{\rm{km}}\) theo hướng nam và \(b\,{\rm{km}}\) theo hướng tây. Tính tổng \(2a + 3b\).
Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát \(2,5{\rm{\;km}}\) về phía nam và \({\rm{2\;km}}\) về phía đông, đồng thời cách mặt đất \(0,8{\rm{\;km}}\). Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát \(1,5{\rm{\;km}}\) về phía bắc và \(3{\rm{ km}}\) về phía tây, đồng thời cách mặt đất \(0,6{\rm{\;km}}\). Người ta cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu cho hai khinh khí cầu sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó tới hai khinh khí cầu nhỏ nhất. Giả sử vị trí cần tìm cách địa điểm hai khinh khí cầu bay lên là \(a\,{\rm{km}}\) theo hướng nam và \(b\,{\rm{km}}\) theo hướng tây. Tính tổng \(2a + 3b\).
Xem đáp án »
12/12/2024
7,851
Câu 2:
Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:
|
Mức giá (triệu đồng/\[{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\]) |
[10;14) |
[14;18) |
[18;22) |
[22;26) |
[26;30) |
|
Số khách hàng |
54 |
78 |
120 |
45 |
12 |
Khoảng biến thiên \(R\) của mẫu số liệu ghép nhóm trên là.
Xem đáp án »
12/12/2024
935
Câu 3:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x - \sqrt {{x^2} - x} \). Tìm số đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x - \sqrt {{x^2} - x} \). Tìm số đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Xem đáp án »
12/12/2024
670
Câu 4:
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\Delta ABC\), biết \(A\left( { - 1;0;3} \right),B\left( {4;2;0} \right),C\left( {3;1; - 3} \right)\).
a) \(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow i + 3\overrightarrow k \).
b) \(G\left( {2;1;0} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
c) \(M\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {CB} \). Khi đó \(a + b + c = - 13\).
d) \(M\left( {a;b;c} \right) \in Ox\) sao cho \(BM\) vuông góc với đường thẳng \(AC\). Khi đó \(4{a^2} + {b^2} + {c^2} = 162.\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\Delta ABC\), biết \(A\left( { - 1;0;3} \right),B\left( {4;2;0} \right),C\left( {3;1; - 3} \right)\).
a) \(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow i + 3\overrightarrow k \).
b) \(G\left( {2;1;0} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
c) \(M\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {CB} \). Khi đó \(a + b + c = - 13\).
d) \(M\left( {a;b;c} \right) \in Ox\) sao cho \(BM\) vuông góc với đường thẳng \(AC\). Khi đó \(4{a^2} + {b^2} + {c^2} = 162.\)
Xem đáp án »
12/12/2024
534
Câu 5:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có bảng biến thiên như hình vẽ
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2.
c) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \(I\left( {1;2} \right)\).
d) Có 2024 số nguyên \(m\) trên \(\left[ { - 2024;2024} \right]\) để phương trình \(\left| {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right| = m\) có hai nghiệm phân biệt.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có bảng biến thiên như hình vẽ
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2.
c) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \(I\left( {1;2} \right)\).
d) Có 2024 số nguyên \(m\) trên \(\left[ { - 2024;2024} \right]\) để phương trình \(\left| {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right| = m\) có hai nghiệm phân biệt.
Xem đáp án »
12/12/2024
434
Câu 6:
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x + 2025\), (tham số \(m\)). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau
a) Khi \(m = 1\) thì hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\).
b) Khi \(m = 1\) thì hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
c) Khi \(m = 1\) thì hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) bằng \( - 4\).
d) Có tất cả 1 giá trị nguyên của \(m\) để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x + 2025\), (tham số \(m\)). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau
a) Khi \(m = 1\) thì hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\).
b) Khi \(m = 1\) thì hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
c) Khi \(m = 1\) thì hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) bằng \( - 4\).
d) Có tất cả 1 giá trị nguyên của \(m\) để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Xem đáp án »
12/12/2024
329
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
53 câu Bài tập về Tính đơn điệu của hàm số có lời giải (P1)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
-
200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nâng cao (P1)
-
120 câu Bài tập Cực trị hàm số cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
250 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số cơ bản (P1)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
về câu hỏi!