Trong không gian $Oxyz$, cho $\Delta ABC$, biết $A\left( { - 1;0;3} \right),B\left( {4;2;0} \right),C\left( {3;1; - 3} \right)$.

a) $\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow i + 3\overrightarrow k $.

b) $G\left( {2;1;0} \right)$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

c) $M\left( {a;b;c} \right)$ thỏa mãn $\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {CB} $. Khi đó $a + b + c = - 13$.

d) $M\left( {a;b;c} \right) \in Ox$ sao cho $BM$ vuông góc với đường thẳng $AC$. Khi đó $4{a^2} + {b^2} + {c^2} = 162.$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi cuối kì 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) $\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow i + 3\overrightarrow k $.

b) Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 1 + 4 + 3}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{0 + 2 + 1}}{3} = 1\\{z_G} = \frac{{3 + 0 - 3}}{3} = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow G\left( {2;1;0} \right)$.

c) Ta có $\overrightarrow {AM} = \left( {a + 1;b;c - 3} \right)$, $\overrightarrow {CB} = \left( {1;1;3} \right)$.

Vì $\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {CB} $ nên $\left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 3\\b = 3\\c - 3 = 9\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\\c = 12\end{array} \right.$$ \Rightarrow a + b + c = 17$.

d) $M\left( {a;b;c} \right) \in Ox \Rightarrow M\left( {a;0;0} \right)$.

Có $\overrightarrow {BM} = \left( {a - 4; - 2;0} \right)$; $\overrightarrow {AC} = \left( {4;1; - 6} \right)$.

Để $BM$ vuông góc với đường thẳng $AC$ khi

$\overrightarrow {BM} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BM} \cdot \overrightarrow {AC} = 0$$ \Leftrightarrow 4\left( {a - 4} \right) - 2 \cdot 1 = 0 \Leftrightarrow 4a = 18 \Leftrightarrow a = \frac{9}{2}$.

Do đó $4{a^2} + {b^2} + {c^2} = 81$.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $2,5{\rm{\;km}}$ về phía nam và ${\rm{2\;km}}$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,8{\rm{\;km}}$. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $1,5{\rm{\;km}}$ về phía bắc và $3{\rm{ km}}$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,6{\rm{\;km}}$. Người ta cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu cho hai khinh khí cầu sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó tới hai khinh khí cầu nhỏ nhất. Giả sử vị trí cần tìm cách địa điểm hai khinh khí cầu bay lên là $a\,{\rm{km}}$ theo hướng nam và $b\,{\rm{km}}$ theo hướng tây. Tính tổng $2a + 3b$.

Xem đáp án

Lời giải

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ trùng với mặt đất với trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục ${\rm{Oz}}$ hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình vẽ), đơn vị đo lấy theo kilômét.

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát (ảnh 1)

Chiếc khinh khí cầu thứ nhất và thứ hai ở vị trí $A,B$. Ta có $A\left( {\frac{5}{2};2;\frac{4}{5}} \right),B\left( { - \frac{3}{2}; - 3;\frac{3}{5}} \right)$.

Gọi $C$ là điểm đối xứng của $A$ qua mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$, $C\left( {\frac{5}{2};2; - \frac{4}{5}} \right)$.

Khi đó $I = BC \cap \left( {Oxy} \right)$.

$\overrightarrow {BC} = \left( {4;5; - \frac{7}{5}} \right)$. $I \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow I\left( {x;y;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BI} = \left( {x + \frac{3}{2};y + 3; - \frac{3}{5}} \right)$

$\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BI} $ cùng phương nên $\frac{{x + \frac{3}{2}}}{4} = \frac{{y + 3}}{5} = \frac{3}{7} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{{14}}\\y = - \frac{6}{7}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{{14}}\\b = \frac{6}{7}\end{array} \right. \Rightarrow 2a + 3b = 3$.

Câu 2