Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\) trên nửa khoảng \(\left[ {1;\,{e^2}} \right)\) lần lượt là \(m\) và \(M\). Giá trị của biểu thức \(\ln \left( {m + M} \right)\)bằng

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát \(2,5{\rm{\;km}}\) về phía nam và \({\rm{2\;km}}\) về phía đông, đồng thời cách mặt đất \(0,8{\rm{\;km}}\). Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát \(1,5{\rm{\;km}}\) về phía bắc và \(3{\rm{ km}}\) về phía tây, đồng thời cách mặt đất \(0,6{\rm{\;km}}\). Người ta cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu cho hai khinh khí cầu sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó tới hai khinh khí cầu nhỏ nhất. Giả sử vị trí cần tìm cách địa điểm hai khinh khí cầu bay lên là \(a\,{\rm{km}}\) theo hướng nam và \(b\,{\rm{km}}\) theo hướng tây. Tính tổng \(2a + 3b\).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x - \sqrt {{x^2} - x} \). Tìm số đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\),\(B\left( {0;1;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;1} \right)\). Điểm \(M\)là điểm thỏa mãn \(P = M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có bảng biến thiên như hình vẽ

b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2.

c) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \(I\left( {1;2} \right)\).

d) Có 2024 số nguyên \(m\) trên \(\left[ { - 2024;2024} \right]\) để phương trình \(\left| {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right| = m\) có hai nghiệm phân biệt.

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\Delta ABC\), biết \(A\left( { - 1;0;3} \right),B\left( {4;2;0} \right),C\left( {3;1; - 3} \right)\).

a) \(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow i + 3\overrightarrow k \).

b) \(G\left( {2;1;0} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

c) \(M\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {CB} \). Khi đó \(a + b + c = - 13\).

d) \(M\left( {a;b;c} \right) \in Ox\) sao cho \(BM\) vuông góc với đường thẳng \(AC\). Khi đó \(4{a^2} + {b^2} + {c^2} = 162.\)