Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\) trên nửa khoảng \(\left[ {1;\,{e^2}} \right)\) lần lượt là \(m\) và \(M\). Giá trị của biểu thức \(\ln \left( {m + M} \right)\)bằng

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát \(2,5{\rm{\;km}}\) về phía nam và \({\rm{2\;km}}\) về phía đông, đồng thời cách mặt đất \(0,8{\rm{\;km}}\). Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát \(1,5{\rm{\;km}}\) về phía bắc và \(3{\rm{ km}}\) về phía tây, đồng thời cách mặt đất \(0,6{\rm{\;km}}\). Người ta cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu cho hai khinh khí cầu sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó tới hai khinh khí cầu nhỏ nhất. Giả sử vị trí cần tìm cách địa điểm hai khinh khí cầu bay lên là \(a\,{\rm{km}}\) theo hướng nam và \(b\,{\rm{km}}\) theo hướng tây. Tính tổng \(2a + 3b\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\Delta ABC\), biết \(A\left( { - 1;0;3} \right),B\left( {4;2;0} \right),C\left( {3;1; - 3} \right)\).

a) \(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow i + 3\overrightarrow k \).

b) \(G\left( {2;1;0} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

c) \(M\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {CB} \). Khi đó \(a + b + c = - 13\).

d) \(M\left( {a;b;c} \right) \in Ox\) sao cho \(BM\) vuông góc với đường thẳng \(AC\). Khi đó \(4{a^2} + {b^2} + {c^2} = 162.\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x - \sqrt {{x^2} - x} \). Tìm số đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có bảng biến thiên như hình vẽ

b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2.

c) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \(I\left( {1;2} \right)\).

d) Có 2024 số nguyên \(m\) trên \(\left[ { - 2024;2024} \right]\) để phương trình \(\left| {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right| = m\) có hai nghiệm phân biệt.

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x + 2025\), (tham số \(m\)). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau

a) Khi \(m = 1\) thì hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\).

b) Khi \(m = 1\) thì hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

c) Khi \(m = 1\) thì hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) bằng \( - 4\).

d) Có tất cả 1 giá trị nguyên của \(m\) để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).