Giả sử chi phí tiền xăng \(C\) (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình \(v\left( {{\rm{km/h}}} \right)\) theo công thức: \(C\left( v \right) = \frac{{5400}}{v} + \frac{3}{2}v\left( {0 < v \le 120} \right)\). Tài xế xe tải lái xe với tốc độ trung bình là bao nhiêu để tiết kiệm tiền xăng nhất?

Chọn hệ trục toạ độ \(Oxyz\) với gốc \(O\) đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất với trục \(Ox\) hướng về phía nam, trục \(Oy\) hướng về phía đông và trục \({\rm{Oz}}\) hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình vẽ), đơn vị đo lấy theo kilômét.

Chiếc khinh khí cầu thứ nhất và thứ hai ở vị trí \(A,B\). Ta có \(A\left( {\frac{5}{2};2;\frac{4}{5}} \right),B\left( { - \frac{3}{2}; - 3;\frac{3}{5}} \right)\).

Gọi \(C\) là điểm đối xứng của \(A\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), \(C\left( {\frac{5}{2};2; - \frac{4}{5}} \right)\).

Khi đó \(I = BC \cap \left( {Oxy} \right)\).

\(\overrightarrow {BC} = \left( {4;5; - \frac{7}{5}} \right)\). \(I \in \left( {Oxy} \right) \Rightarrow I\left( {x;y;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BI} = \left( {x + \frac{3}{2};y + 3; - \frac{3}{5}} \right)\)

\(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BI} \) cùng phương nên \(\frac{{x + \frac{3}{2}}}{4} = \frac{{y + 3}}{5} = \frac{3}{7} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{{14}}\\y = - \frac{6}{7}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{{14}}\\b = \frac{6}{7}\end{array} \right. \Rightarrow 2a + 3b = 3\).

Hàm số xác định và liên tục trên \(D = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\). Ta có:

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - \sqrt {{x^2} - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 - \sqrt {1 - \frac{1}{x}} } \right) = 1\).

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right) - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x - \sqrt {{x^2} - x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{x + \sqrt {{x^2} - x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{1 + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} }} = \frac{1}{2}\).

\( \Rightarrow y = x + \frac{1}{2}\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi \(x \to + \infty \).

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - \sqrt {{x^2} - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} } \right) = 3\).

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {f\left( x \right) - 3x} \right) = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} - x} } \right) = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{x - \sqrt {{x^2} - x} }} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{1 + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} }} = - \frac{1}{2}\).

\( \Rightarrow y = 3x - \frac{1}{2}\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi \(x \to - \infty \).

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận xiên.