Cho hàm số (y = f left( x right) )có đồ thị hàm số như hình bên dưới a) Hàm số (f left( x right) ) đồng biến trên từng khoảng xác định ( left( { - infty ;1} right) ) và ( left( {1; + infty } right) )...

Câu hỏi:

12/12/2024 945

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$có đồ thị hàm số như hình bên dưới

$Cho hàm số $y = f( x)$có đồ thị hàm số như hình bên dưới a) Hàm số (ảnh 1)$

a) Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên từng khoảng xác định$\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

b) Hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực đại tại$x = - 1$và đạt cực tiểu tại $x = 3$.

c) Đồ thị hàm số$f\left( x \right)$ở hình trên là của hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}}$.

d) Điểm M trên đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ có khoảng cách đến I là nhỏ nhất (với I là giao điểm của hai tiệm cận) với hoành độ dương là$\sqrt {2\sqrt 2 } + 1$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi cuối kì 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Hàm số $f\left( x \right)$đồng biến trên từng khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$.

b) Điểm cực đại của đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ là $\left( { - 1;0} \right)$và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ là $\left( {3;8} \right)$.

c) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, $y = x + 3$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left( {3;8} \right),\left( { - 1;0} \right),\left( {0; - 1} \right)$.

Ta thấy hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}}$ có $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, $y = x + 3$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số và đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left( {3;8} \right),\left( { - 1;0} \right),\left( {0; - 1} \right)$.

Vậy đồ thị hàm số trên là của hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}}$.

d) Đồ thị hàm số$f\left( x \right)$ở hình câu c là của hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}} = x + 3 + \frac{4}{{x - 1}}$ ( C )

Có $I\left( {1;4} \right)$là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Gọi $M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)$. Khi đó $\overrightarrow {IM} = \left( {x - 1;y - 4} \right)$, bình phương khoảng cách IM:

$\begin{array}{l}I{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2}\\I{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {x + 3 + \frac{4}{{x - 1}} - 4} \right)^2}\end{array}$

$\begin{array}{l}I{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {x - 1 + \frac{4}{{x - 1}}} \right)^2}\\I{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + 8 + {\left( {\frac{4}{{x - 1}}} \right)^2}\end{array}$

\[I{M^2} = 2{\left( {x - 1} \right)^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + 8\]

Theo bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)

\[\begin{array}{l}I{M^2} \ge 2\sqrt {32} + 8 = 8\sqrt 2 + 8\\IM \ge \sqrt {8\sqrt 2 + 8} \end{array}\]

Dấu xảy ra khi \[2{\left( {x - 1} \right)^2} = \frac{{16}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\]\[ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^4} = 8\]\[ \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {2\sqrt 2 } + 1\].

Điểm M trên đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ có khoảng cách đến I là nhỏ nhất \[Min\,IM = \sqrt {8\sqrt 2 + 8} \](với I là giao điểm của hai tiệm cận) với hoành độ dương là$\sqrt {2\sqrt 2 } + 1$.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Những căn lều gỗ trong Hình 1 được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác $OAB.O'A'B'$ như trong Hình 2. Với hệ trục toạ độ \[Oxyz\] thể hiện như Hình 2 (đơn vị đo lấy theo centimét), hai điểm $A'$ và $B'$ có tọa độ lần lượt là $\left( {240;450;0} \right)$ và $\left( {120;450;300} \right)$. Mỗi căn nhà gỗ có chiều dài là $a{\rm{ cm}}$, chiều rộng là $b\;{\rm{cm}}$, mỗi cạnh bên của mặt tiền có độ dài là $c\;{\rm{cm}}$. Tính $a + b + c$ (Làm tròn đến hàng đơn vị).

$Những căn lều gỗ trong Hình 1 được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác \(OAB.O'A'B) (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Vì điểm $A'$ có toạ độ là $\left( {240;450;0} \right)$ nên khoảng cách từ $A'$ đến các trục $Ox,Oy$ lần lượt là $450\;{\rm{cm}}$ và $240\;{\rm{cm}}$. Suy ra $A'A = 450\;{\rm{cm}}$ và $A'O' = 240\;{\rm{cm}}$.

Từ giả thiết suy ra $\overrightarrow {A'B'} = \left( { - 120;0;300} \right)$,

do đó $A'B' = \left| {\overrightarrow {A'B'} } \right| = \sqrt {{{( - 120)}^2} + {0^2} + {{300}^2}} = 60\sqrt {29} \approx 323(\;{\rm{cm}})$.

Vì $O'O = A'A = 450\;{\rm{cm}}$ và $O'$ nằm trên trục \[Oy\] nên toạ độ của điểm $O'$ là $\left( {0;450;0} \right)$.

Do đó $\overline {O'B'} = \left( {120;0;300} \right)$ và $O'B' = \left| {\overline {O'B'} } \right| = \sqrt {{{120}^2} + {0^2} + {{300}^2}} = 60\sqrt {29} \approx 323{\rm{ }}({\rm{cm}})$.

Vậy mỗi căn lều gỗ có chiều dài là $450\;{\rm{cm}}$, chiều rộng là $240\;{\rm{cm}}$, mỗi cạnh bên của mặt tiền có độ dài là 323 cm.

$ \Rightarrow a + b + c = 1013$.

Câu 2

Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số $N\left( t \right) = - {t^3} + 12{t^2},0 \le t \le 12$, trong đó $N$ là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và $t$ là thời gian (tuần). Giả sử số người bị nhiễm bệnh tăng trong khoảng thời gian $\left( {a;b} \right)$. Tính $a + b$.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $N'\left( t \right) = - 3{t^2} + 24t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 8\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta thấy số người bị nhiễm bệnh tăng trong khoảng thời gian $\left( {0;8} \right)$.

Suy ra $a = 0;b = 8$. Vậy $a + b = 8$.

Câu 3