Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A\left( {1;2;5} \right),B\left( {2;4; - 3} \right),C\left( {3;3;1} \right)$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $M$ là điểm thay đổi trên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$. Độ dài $GM$ ngắn nhất bằng bao nhiêu?

Những căn lều gỗ trong Hình 1 được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác $OAB.O'A'B'$ như trong Hình 2. Với hệ trục toạ độ $Oxyz$ thể hiện như Hình 2 (đơn vị đo lấy theo centimét), hai điểm $A'$ và $B'$ có tọa độ lần lượt là $\left( {240;450;0} \right)$ và $\left( {120;450;300} \right)$. Mỗi căn nhà gỗ có chiều dài là $a{\rm{ cm}}$, chiều rộng là $b\;{\rm{cm}}$, mỗi cạnh bên của mặt tiền có độ dài là $c\;{\rm{cm}}$. Tính $a + b + c$ (Làm tròn đến hàng đơn vị).

Xí nghiệp $A$ sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm tổng chi phí sản xuất là $TC = {x^3} - 77{x^2} + 1000x + 4000$ và hàm doanh thu là $TR = - 2{x^2} + 1312x$, với $x$ là số sản phẩm. Lợi nhuận của xí nghiệp $A$ được xác định bằng hàm số $f\left( x \right) = TR - TC$, cực đại lợi nhuận của xí nghiệp $A$ khi đó đạt bao nhiêu sản phẩm?

Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số $N\left( t \right) = - {t^3} + 12{t^2},0 \le t \le 12$, trong đó $N$ là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và $t$ là thời gian (tuần). Giả sử số người bị nhiễm bệnh tăng trong khoảng thời gian $\left( {a;b} \right)$. Tính $a + b$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $\overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow i - \overrightarrow k$ với $\overrightarrow i ,\overrightarrow k$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$, hai điểm $B\left( { - 1;2;3} \right),C\left( {1;4;1} \right)$.

a) $A\left( {3;0; - 1} \right)$.

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng.

c) Điểm $D\left( {a;b;c} \right)$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$. Khi đó $a + b + c = 6$.

d) Điểm $M\left( {m;n;p} \right)$ trên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ sao cho $M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$.

Cho hàm số $y = f(x) = {x^3} - 3x - 2$.

a) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$.

b) Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$.

c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$ bằng $- 4$.

d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(2x)$ trên đoạn $\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]$ bằng $- 4$.

Thống kê chiều cao của tổ 1 và tổ 2 của lớp 10A cho bởi bảng sau:

    a) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu về chiều cao của học sinh tổ 1 là ${Q_1} = 154,375$.

    b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu về chiều cao của học sinh tổ 1 là $R = 25$.

    c) Phương sai của mẫu số liệu về chiều cao của học sinh tổ 2 là $s_2^2 \approx 48,88$.

    d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về chiều cao của học sinh tổ 2 lớn hơn độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về chiều cao của học sinh tổ 1.