Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow i - \overrightarrow k \) với \(\overrightarrow i ,\overrightarrow k \) là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ \(Ox,Oz\), hai điểm \(B\left( { - 1;2;3} \right),C\left( {1;4;1} \right)\).

a) \(A\left( {3;0; - 1} \right)\).

b) Ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng.

c) Điểm \(D\left( {a;b;c} \right)\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(B\). Khi đó \(a + b + c = 6\).

d) Điểm \(M\left( {m;n;p} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \(2m - n + 2024p = 0\).

Những căn lều gỗ trong Hình 1 được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác \(OAB.O'A'B'\) như trong Hình 2. Với hệ trục toạ độ \[Oxyz\] thể hiện như Hình 2 (đơn vị đo lấy theo centimét), hai điểm \(A'\) và \(B'\) có tọa độ lần lượt là \(\left( {240;450;0} \right)\) và \(\left( {120;450;300} \right)\). Mỗi căn nhà gỗ có chiều dài là \(a{\rm{ cm}}\), chiều rộng là \(b\;{\rm{cm}}\), mỗi cạnh bên của mặt tiền có độ dài là \(c\;{\rm{cm}}\). Tính \(a + b + c\) (Làm tròn đến hàng đơn vị).

Xí nghiệp \(A\) sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm tổng chi phí sản xuất là \(TC = {x^3} - 77{x^2} + 1000x + 4000\) và hàm doanh thu là \(TR = - 2{x^2} + 1312x\), với \(x\) là số sản phẩm. Lợi nhuận của xí nghiệp \(A\) được xác định bằng hàm số \(f\left( x \right) = TR - TC\), cực đại lợi nhuận của xí nghiệp \(A\) khi đó đạt bao nhiêu sản phẩm?

Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số \(N\left( t \right) = - {t^3} + 12{t^2},0 \le t \le 12\), trong đó \(N\) là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và \(t\) là thời gian (tuần). Giả sử số người bị nhiễm bệnh tăng trong khoảng thời gian \(\left( {a;b} \right)\). Tính \(a + b\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {1;2;5} \right),B\left( {2;4; - 3} \right),C\left( {3;3;1} \right)\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(M\) là điểm thay đổi trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Độ dài \(GM\) ngắn nhất bằng bao nhiêu?

Cho hàm số \(y = f(x) = {x^3} - 3x - 2\).

a) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).

b) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\).

c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) bằng \( - 4\).

d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f(2x)\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\) bằng \( - 4\).

Thống kê chiều cao của tổ 1 và tổ 2 của lớp 10A cho bởi bảng sau:

    a) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu về chiều cao của học sinh tổ 1 là \({Q_1} = 154,375\).

    b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu về chiều cao của học sinh tổ 1 là \(R = 25\).

    c) Phương sai của mẫu số liệu về chiều cao của học sinh tổ 2 là \(s_2^2 \approx 48,88\).

    d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về chiều cao của học sinh tổ 2 lớn hơn độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về chiều cao của học sinh tổ 1.