Câu hỏi:
14/12/2024 3,670
Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 2,x = 6\). Khi đó
a) Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) là \(s = 4 + \ln 3\).
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) - 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 2;x = 6\) là \(S = 2\ln 3\).
c) Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox\) là \(V = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).
d) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và các đường thẳng \(y = 1;x = 2;x = 6\) quanh trục \(Ox\) là \(V = \frac{{1 + 6\ln 3}}{3}\).
Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 2,x = 6\). Khi đó
a) Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) là \(s = 4 + \ln 3\).
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) - 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 2;x = 6\) là \(S = 2\ln 3\).
c) Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox\) là \(V = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).
d) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và các đường thẳng \(y = 1;x = 2;x = 6\) quanh trục \(Ox\) là \(V = \frac{{1 + 6\ln 3}}{3}\).
Quảng cáo
Trả lời:
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Ta có \(S = \int\limits_2^6 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_2^6 {\left| {\frac{{x + 1}}{x}} \right|dx = } \int\limits_2^6 {\frac{{x + 1}}{x}dx} = \int\limits_2^6 {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {x + \ln x} \right)} \right|_2^6 = 6 + \ln 6 - \left( {2 + \ln 2} \right) = 4 + \ln 3\).
b) \(S = \int\limits_2^6 {\left| {f\left( x \right) - 1} \right|dx} = \int\limits_2^6 {\left| {\frac{{x + 1}}{x} - 1} \right|dx = } \int\limits_2^6 {\frac{1}{x}dx} \)\( = \left. {\ln x} \right|_2^6 = \ln 6 - \ln 2 = \ln 3\).
c) Ta có \(V = \pi {\int\limits_2^6 {\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)} ^2}dx\)\( = \pi {\int\limits_2^6 {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} ^2}dx\)\( = \pi \int\limits_2^6 {\left( {1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx\)
\( = \left. {\pi \left( {x + 2\ln x - \frac{1}{x}} \right)} \right|_2^6\)\( = \pi \left( {6 + 2\ln 6 - \frac{1}{6} - 2 - 2\ln 2 + \frac{1}{2}} \right) = \pi \left( {4 + 2\ln 3 + \frac{1}{3}} \right)\)\( = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).
d) \(V = \pi \int\limits_2^6 {\left( {{f^2}\left( x \right) - 1} \right)dx} \)\( = \pi \int\limits_2^6 {\left[ {{{\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)}^2} - 1} \right]dx} \)\( = \pi \int\limits_2^6 {{{\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)}^2}dx} - \pi \int\limits_2^6 {1dx} \)
\( = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3} - \left. {\pi x} \right|_2^6\)\( = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3} - 4\pi = \frac{{\left( {1 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Khi đó ta có \(A \equiv O\left( {0;0} \right),B\left( {2;0} \right),I\left( {2;1} \right),J\left( {0;1} \right)\).
Phương trình đường tròn tâm \(J\) là \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1 \Rightarrow y = 1 + \sqrt {1 - {x^2}} \).
Phương trình đường tròn tâm \(I\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1 \Rightarrow y = 1 - \sqrt {1 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \).
Khi đó \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}1 + \sqrt {1 - {x^2}} \;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;0 \le x < 1\\1 - \sqrt {1 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} \;{\rm{khi}}\;1 \le x \le 2\end{array} \right.\].
Do đó \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}dx + } \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {1 - \sqrt {1 - {{\left( {x - 2} \right)}^2}} } \right)}^2}dx} \approx 10,5\).
Lời giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2;0} \right)\).
b) Mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\)có phương trình: \(x = 0\).
Ta có \(d\left( {A,\left( {Oyz} \right)} \right) = \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 1\).
c) \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3 - 1 + 0 + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}\).
d) Vì \(\left( Q \right)//\left( P \right)\) nên \(\left( Q \right):x - y + z + d = 0\left( {d \ne 5} \right)\).
Vì \(d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = d\left( {B,\left( Q \right)} \right)\) nên \(\frac{{\left| {1 - 3 + 0 + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {3 - 1 + 0 + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {d - 2} \right| = \left| {d + 2} \right|\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d - 2 = d + 2\\d - 2 = - d - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow d = 0\).
Vậy \(\left( Q \right):x - y + z = 0\). Suy ra \(b = - 1;c = 1;d = 0\). Do đó \(b + c + d = 0\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.