Cho hàm số \(y = 3{e^{2x}} - \ln 2\) và \(g\left( x \right) = 6{e^{2x}}\).

a) \(g\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\).

b) \(\int {g\left( x \right)} dx = 3{e^{2x}} + C\).

c) \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \frac{9}{2}{e^{2x}} - \ln \left( {2x} \right) + C\).

d) \(\int {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} dx = \frac{x}{2} - \frac{{\ln 2}}{{12{e^{2x}}}} + C\).

Một công ty quảng cáo muốn làm một bức tranh trang trí hình \(MNEIF\) ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật \(ABCD\) có chiều cao \(BC = 6{\rm{m}}\), chiều dài \(CD = 12{\rm{m}}\) (hình vẽ bên). Cho biết \(MNEF\) là hình chữ nhật có \(MN = 4{\rm{m}}\), cung \(EIF\) có hình dạng là một phần của parabol có đỉnh \(I\) là trung điểm của cạnh \(AB\) và đi qua 2 điểm \(C,D\). Đơn giá làm bức tranh là 900000 đồng/m². Hỏi công ty đó cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó (đơn vị: triệu đồng)?

Biết hàm số \(F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right)\sqrt {2x - 3} \) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{20{x^2} - 30x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }}\) trên khoảng \(\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\). Tính \(P = abc\).

Giả sử một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là \(196{\rm{m/s}}\) và gia tốc trọng trường là \(9,8{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\)(bỏ qua sức cản của không khí). Quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống đất là bao nhiêu kilômét?

Cho \(F\left( x \right)\) là họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - \cos x + \frac{2}{{{{\cos }^2}x}},F\left( 0 \right) = 1\). Giá trị \(F\left( \pi \right)\) bằng bao nhiêu?

Cho \({S_1},{S_2}\) lần lượt là diện tích các hình phẳng \(\left( {{H_1}} \right),\left( {{H_2}} \right)\) được mô tả trong hình sau:

a) \({S_1} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|} dx\).

b) \({S_2} = \int\limits_0^4 {\left| {{x^2} - 4x} \right|dx} - {S_1}\).

c) \({S_2} = \int\limits_3^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} + \frac{9}{2}\).

d) Thể tích khối tròn xoay khi quay \(\left( {{H_2}} \right)\) quanh trục \(Ox\) nhỏ hơn 30.

Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A\left( {1;0;1} \right),B\left( {2;1;2} \right),D\left( {1; - 1;1} \right),C'\left( {4;5; - 5} \right)\). Chiều cao của hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) là \(\frac{{a\sqrt b }}{2}\). Giá trị của \(a.b\) bằng bao nhiêu?