Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $A\left( {1;0;1} \right),B\left( {2;1;2} \right),D\left( {1; - 1;1} \right),C'\left( {4;5; - 5} \right)$. Chiều cao của hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ là $\frac{{a\sqrt b }}{2}$. Giá trị của $a.b$ bằng bao nhiêu?

Một công ty quảng cáo muốn làm một bức tranh trang trí hình $MNEIF$ ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật $ABCD$ có chiều cao $BC = 6{\rm{m}}$, chiều dài $CD = 12{\rm{m}}$ (hình vẽ bên). Cho biết $MNEF$ là hình chữ nhật có $MN = 4{\rm{m}}$, cung $EIF$ có hình dạng là một phần của parabol có đỉnh $I$ là trung điểm của cạnh $AB$ và đi qua 2 điểm $C,D$. Đơn giá làm bức tranh là 900000 đồng/m². Hỏi công ty đó cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó (đơn vị: triệu đồng)?

Biết hàm số $F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right)\sqrt {2x - 3}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{20{x^2} - 30x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }}$ trên khoảng $\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)$. Tính $P = abc$.

Giả sử một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là $196{\rm{m/s}}$ và gia tốc trọng trường là $9,8{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$(bỏ qua sức cản của không khí). Quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống đất là bao nhiêu kilômét?

Cho $F\left( x \right)$ là họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin x - \cos x + \frac{2}{{{{\cos }^2}x}},F\left( 0 \right) = 1$. Giá trị $F\left( \pi \right)$ bằng bao nhiêu?

Cho ${S_1},{S_2}$ lần lượt là diện tích các hình phẳng $\left( {{H_1}} \right),\left( {{H_2}} \right)$ được mô tả trong hình sau:

a) ${S_1} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|} dx$.

b) ${S_2} = \int\limits_0^4 {\left| {{x^2} - 4x} \right|dx} - {S_1}$.

c) ${S_2} = \int\limits_3^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} + \frac{9}{2}$.

d) Thể tích khối tròn xoay khi quay $\left( {{H_2}} \right)$ quanh trục $Ox$ nhỏ hơn 30.