Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x + 1}}\;{\rm{khi}}\;0 \le x < 1\\2x - 1\;{\rm{khi}}\;1 \le x \le 3\end{array} \right.\).

a) Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\frac{2}{{x + 1}}dx} \).

b) Tích phân \(\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_2^3 {\frac{2}{{x + 1}}dx} \).

c) Tích phân \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 6\).

d) Tích phân \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 6 + \ln 4\).

Cho điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - 2y + 2z + 2 = 0\). Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và cách \(A\) một khoảng bằng 1 có dạng \(\left( \alpha \right):x - by + cz + d = 0\). Khi đó \(S = 3b - c + d\)?

Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn \({x^2} + {y^2} = 16\), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) ta được thiết diện là tam giác đều. Khi đó thể tích của vật thể có dạng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(S = a + b\).

Cho biết \(\int {\frac{{4x + 1}}{{2x + 3}}dx} = ax - \frac{b}{2}\ln \left( {2x + 3} \right) + C\) với \(x \in \left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\) (\(a;b\) là các số nguyên dương). Tính \(2a - b\).

Gọi \(\left( H \right)\) là hình giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = \sqrt x ,y = 2 - x\) và trục hoành. Kí hiệu diện tích hình \(\left( H \right)\) là \({S_1}\) và diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2 - x,y = \sqrt x \) và trục \(Oy\) là \({S_2}\).

a) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2 - x,x = 0,x = 1\) và trục \(Ox\) xung quanh trục \(Ox\) bằng \(\frac{{7\pi }}{3}\).

b) Giá trị \({S_1} = \frac{7}{6}\).

c) \({S_1} = {S_2}\).

d) Thể tích khối tròn xoay được tạo bởi khi quay hình \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox\) bằng \(\pi \).