Câu hỏi:

17/12/2024 590

Cho đường tròn và điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn . Một đường thẳng đi qua cắt đường tròn tại hai điểm và (, không đi qua tâm ). Gọi là trung điểm của . Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai là .
Chứng minh và .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

⦁ Chứng minh

Xét đường tròn , có: (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung (1)

Xét cân tại (do có .

Do đó , suy ra (2).

Từ (1) và (2) suy ra .

Xét và có: là góc chung và .

Do đó (g.g).

Suy ra hay .

• Chứng minh

Xét cân tại (do ) có là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, do đó . Suy ra vuông tại .

Xét vuông tại có là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

Khi đó, ta có nên bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm đường kính .

Suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn cung của đường tròn tâm ). (*)

Xét đường tròn có là hai tiếp tuyến cắt nhau tại , suy ra là phân giác của .

Do đó, .

Mà (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung .

Suy ra (**)

Từ (*) và (**) suy ra .

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị, do đó .

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Người ta trộn chất lỏng loại I với chất lỏng loại II thì được một hỗn hợp có khối lượng riêng là . Biết khối lượng riêng của chất lỏng loại I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng loại II là . Tính khối lượng riêng của mỗi chất.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi lần lượt là khối lượng riêng của chất lỏng loại I và chất lỏng loại II

Theo đề bài, khối lượng riêng của chất lỏng loại I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng loại II là nên ta có phương trình: (1).

Thể tích của 4 kg chất lỏng loại I là:

Thể tích của 3 kg chất lỏng loại II là:

Khi đó, tổng thể tích hai loại chất lỏng là:

Người ta trộn chất lỏng loại I với chất lỏng loại II, do đó khối lượng hỗn hợp là: .

Thể tích của hỗn hợp sau khi pha là:

Khi đó, ta có phương trình: (2)

Từ (1) và (2), suy ra hệ phương trình

Từ (1) ta có: , thế vào phương trình (2), ta được:

Suy ra (do với mọi

Do đó (thỏa mãn).

Thay vào phương trình , ta được (thỏa mãn).

Vậy khối lượng riêng của chất lỏng loại I và loại II lần lượt là và

Câu 2

\[
\text{Cho hai biểu thức }
A=\frac{\sqrt{x}+5}{2\sqrt{x}-1}
\text{ và }
B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}
+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}
-\frac{3\sqrt{x}+1}{x-1}
\]

\[
\text{với } x\ge0,\ x\ne1,\ x\ne\frac14.
\text{ Tìm } x \text{ để biểu thức } M=AB \text{ đạt giá trị lớn nhất.}
\]

Xem đáp án

Lời giải

\[
\text{Với } x\ge0,\ x\ne1,\ x\ne\frac14 \text{ ta có:}
\]

\[
B=
\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}
+
\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}
-
\frac{3\sqrt{x}+1}{x-1}
\]

\[
=
\frac{(\sqrt{x}+1)^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}
+
\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}
-
\frac{3\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}
\]

\[
=
\frac{x+2\sqrt{x}+1+x-2\sqrt{x}+1-3\sqrt{x}-1}
{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}
\]

\[
=
\frac{2x-3\sqrt{x}+1}
{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}
\]

\[
=
\frac{(2\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-1)}
{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}
=
\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}
\]

\[
\text{Do đó, }
M=AB
=
\frac{\sqrt{x}+5}{2\sqrt{x}-1}
\cdot
\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}
=
\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+1}
=
1+\frac{4}{\sqrt{x}+1}.
\]

Với $x \geq 0$ thì $\sqrt{x} + 1 \geq 1$ , suy ra $\frac{\sqrt{x} + 1}{4} \geq \frac{1}{4}$ suy ra $\frac{4}{\sqrt{x} + 1} \leq 4$ .