Hằng ngày anh An đi làm bằng xe máy trên cùng một cung đường từ nhà đến cơ quan mất 15 phút. Hôm nay khi đang di chuyển trên đường với vận tốc \({v_0}\) thì bất chợt anh gặp một chướng ngại vật nên anh đã hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với gia tốc \(a = - 6{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\). Biết rằng tổng quãng đường từ lúc anh nhìn thấy chướng ngại vật (trước khi hãm phanh 2 giây) và quãng đường anh đã đi được trong 3 giây đầu tiên kể từ lúc hãm phanh là 35,5 m. Tính \({v_0}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).

Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = \sqrt x ,y = \frac{1}{2}\sqrt x \) và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\).

a) Gọi \({V_1}\) là thể tích khối tròn xoay được tạo khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 0,\)\(y = \sqrt x \), \(x = 0,x = 4\) quanh trục \(Ox\). Khi đó \({V_1} = \pi \int\limits_0^4 {x{\rm{d}}x} .\).

b) Gọi \({V_2}\) là thể tích khối tròn xoay được tạo khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 0,\)\(y = \frac{1}{2}\sqrt x \), \(x = 0,x = 4\) quanh trục \(Ox\). Khi đó \({V_2} = \pi \int\limits_0^4 {\frac{1}{4}x{\rm{d}}x} .\)

c) Giá trị của biểu thức \({V_1} - {V_2}\) bằng \(12\pi \).

d) Một vật thể A có hình dạng được tạo thành khi quay hình phẳng \(D\)quanh trục \(Ox\)( đơn vị trên hai trục tính theo centimét). Thể tích của vật thể đó (làm tròn đến hàng phần mười theo đơn vị centimét khối) là \(37,7{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

Trong không gian \(Oxyz\), gọi \(M,N,P\)lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\left( {2; - 3;1} \right)\) lên các mặt phẳng tọa độ. Phương trình mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) có dạng \(ax + by + cz - 12 = 0\). Tính \(a + b + c\).

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x\) và thỏa mãn \(F\left( \pi \right) = 1\). Phương trình \(F\left( x \right) = 1\) có tất cả bao nhiêu nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;3\pi } \right]\)?

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = 8{x^3} + \sin x,\forall x \in \mathbb{R}\).

a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\).

b) Biết \(f\left( 0 \right) = 3\). Khi đó, \(f\left( x \right) = 2{x^4} - \cos x + 3\).

c) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {2{x^4} - \cos x + 3} \right)dx} = \frac{2}{5}{x^5} - \sin x + 3x + C\) với \(C\) là hằng số.

d) Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 2\). Khi đó \(F\left( 1 \right) = \frac{{32}}{5} - \sin 1\).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

a) \(\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} = 0\).

b) Biết \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\) thì \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).

c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - f\left( x \right)} \right)dx = 2} \).

d) \(\int\limits_{ - \pi }^\pi {\left| {f\left( x \right)} \right|dx = 4} \).