Cho hai biểu thức: và với

Xét biểu thức . Tìm tất cả các giá trị nguyên của để nguyên.

Gọi (giờ) là thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể;

(giờ) là thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể  ().

Đổi: 1 giờ 20 phút = giờ, 12 phút = giờ, 10 phút = giờ.

Theo đề, hai vòi cùng chảy thì sau giờ sẽ đầy bể.

Do đó, trong một giờ, hai vòi cùng chảy được số phần bể là: (bể).

Trong 1 giờ, vòi thứ nhất chảy được (bể), vòi thứ hai chảy được (bể).

Ta có phương trình:

Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy bể nên ta có phương trình

Từ và  ta có hệ phương trình .

Từ phương trình thứ nhất, ta có: , thế vào phương trình thứ hai, ta được:

(TMĐK).

Thay vào hệ phương trình thứ nhất, được suy ra (TMĐK).

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 2 giờ, vòi thứ hai chảy một mình đầy bể trong 4 giờ.

 Theo câu a,  (g.g), suy ra .

Suy ra .

Do đó, hay

Xét vuông tại , có:

Suy ra

Xét vuông tại , có:

Diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính và cung nhỏ là:

.

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính và cung nhỏ là