Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Biết ( frac{{HD}}{{HA}} = frac{1}{2} ). Chứng minh rằng tanB.tanC = 3.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: tanB = \(\frac{{AD}}{{BD}}\); tanC = \(\frac{{AD}}{{CD}}\) suy ra tanB.tanC = \(\frac{{A{D^2}}}{{CD.BD}}\) (1)
Có \(\widehat {HBD} = \widehat {CAD}\) (cùng phụ với \(\widehat {ACB}\)); \(\widehat {HDB} = \widehat {ADC}\) = 90°.
Do đó, ∆BDH và ∆ADC đồng dạng theo trường hợp góc góc.
Suy ra \(\frac{{DH}}{{DC}} = \frac{{BD}}{{AD}}\), do đó BD.DC = DH.AD (2).
Từ (1) và (2) suy ra tanB.tanC = \(\frac{{A{D^2}}}{{DH.AD}} = \frac{{AD}}{{DH}}\) (3).
Theo giả thiết \(\frac{{HD}}{{AH}} = \frac{1}{2}\) suy ra \(\frac{{HD}}{{AH + HD}} = \frac{1}{3}\) hay \(\frac{{HD}}{{AD}} = \frac{1}{3}\).
Suy ra AD = 3HD.
Thay vào (3), ta được: tanB.tanC = \(\frac{{3HD}}{{HD}}\) = 3.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập