Câu hỏi:

09/01/2025 74

Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Biết \(\frac{{HD}}{{HA}} = \frac{1}{2}\). Chứng minh rằng tanB.tanC = 3.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Ta có: tanB = \(\frac{{AD}}{{BD}}\); tanC = \(\frac{{AD}}{{CD}}\) suy ra tanB.tanC = \(\frac{{A{D^2}}}{{CD.BD}}\) (1)

Có \(\widehat {HBD} = \widehat {CAD}\) (cùng phụ với \(\widehat {ACB}\)); \(\widehat {HDB} = \widehat {ADC}\) = 90°.

Do đó, ∆BDH và ∆ADC đồng dạng theo trường hợp góc góc.

Suy ra \(\frac{{DH}}{{DC}} = \frac{{BD}}{{AD}}\), do đó BD.DC = DH.AD (2).

Từ (1) và (2) suy ra tanB.tanC = \(\frac{{A{D^2}}}{{DH.AD}} = \frac{{AD}}{{DH}}\) (3).

Theo giả thiết \(\frac{{HD}}{{AH}} = \frac{1}{2}\) suy ra \(\frac{{HD}}{{AH + HD}} = \frac{1}{3}\) hay \(\frac{{HD}}{{AD}} = \frac{1}{3}\).

Suy ra AD = 3HD.

Thay vào (3), ta được: tanB.tanC = \(\frac{{3HD}}{{HD}}\) = 3.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Hướng dẫn giải

Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC.

Theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có: \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}}\).

Suy ra \(\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{{BD + DC}}{{AB + AC}} = \frac{{BC}}{{AC + AC}}\).

Vậy \(\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{a}{{b + c}}\).

Kẻ BI⊥AD (I ∈ AD), suy ra BI ≤ BD.

∆IAB có \(\widehat {AIB} = 90^\circ \).

Do đó, sin\(\widehat {BAI}\) = \(\frac{{BI}}{{AB}}\) hay \(\sin \frac{A}{2} \le \frac{a}{{b + c}}\).

Lời giải

Media VietJack

a) Ta có: \(\widehat {AMH} = 2\alpha \).

Suy ra sin2α = \(\frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{2AH}}{{2AM}} = \frac{{2AH}}{{BC}} = 2\frac{{AB.AC}}{{B{C^2}}} = 2\sin \alpha .\cos \alpha \).

b) 1 + cos2α = \(1 + \sin \widehat {AMH} = 1 + \frac{{HM}}{{AM}} = \frac{{HC}}{{AM}} = \frac{{2HC}}{{BC}} = 2.\frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} = 2{\cos ^2}\alpha \).

c) 1 – cos2α = \(1 - \cos \widehat {AMH} = 1 - \frac{{HM}}{{AM}} = \frac{{HB}}{{AM}} = \frac{{2BH}}{{BC}} = 2.\frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} = 2{\sin ^2}\alpha \).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP