Cho hình chóp S . A B C D có đáy A B C D là hình thang vuông tại A và D . S A vuông góc với mặt phẳng ( A B C D ) , S A = A C , S C = 2 a , A B = 2 A D = 2 D C . a) S A vuông gó
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).
b) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của đường thẳng \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).
Mà \(SA = AC\) nên tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(A\). Suy ra \(\widehat {SCA} = 45^\circ \).
c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\).
Dễ thấy \(CI = \frac{1}{2}AB\). Suy ra \(\Delta ACB\) vuông tại \(C\). Do đó \(AC \bot CB\)
Mà \(SA \bot BC\). Suy ra \(BC \bot \left( {SAC} \right)\) mà \(BC \subset \left( {SBC} \right)\). Do đó \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
d) Giả sử \(AD \cap BC = \left\{ K \right\}\).
Ta có \(\frac{{d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}} = \frac{{KD}}{{KA}} = \frac{1}{2}\). Suy ra \(d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\).
Hạ \(AH \bot SC\) mà \(BC \bot \left( {SAC} \right)\) nên \(BC \bot AH\). Do đó \(AH \bot \left( {SBC} \right)\). Vậy \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).
Ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{2}{{A{C^2}}}\).
Vì tam giác \(SAC\) vuông cân cạnh \(SC = 2a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \). Do đó \(AH = a\).
Do đó \(d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{a}{2}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập