Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 4{\rm{ cm,}}\) \(BC = 5{\rm{ cm}}\). Cho \(AH\) là đường cao của \(\Delta ABC\).

a) Tính độ dài cạnh \(AC\).

b) Chứng minh  và \(A{C^2} = CH.BC\).

c) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AH,BH\). Chứng minh rằng .

Gọi \(x\) (áo) là số áo dự định phải may của tổ đó \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Thời gian may dự định của tổ là \(\frac{x}{{50}}\) (ngày).

Thực tế số áo tổ đã may được là \(x + 20\) (áo).

Thời gian thực tế tổ may đã làm là \(\frac{{x + 20}}{{60}}\) (ngày).

Theo đề bài, ta có phương trình: \(\frac{x}{{50}} - \frac{{x + 20}}{{60}} = 1\).

Giải phương trình, ta có:

\(\frac{x}{{50}} - \frac{{x + 20}}{{60}} = 1\)

\(\frac{{6x}}{{300}} - \frac{{5\left( {x + 2} \right)}}{{300}} = 1\)

\(\frac{{6x - 5x - 100}}{{300}} = 1\)

\(\frac{{x - 100}}{{300}} = 1\)

\(x - 100 = 300\)

\(x = 400\) (thỏa mãn)

Vậy số lượng áo ban đầu tổ phải may là \(400\) chiếc.

Đáp án: \(a = \frac{1}{2}\)

Với \(a \ne 0;a \ne 1;a \ne - 1\), ta có:

\(A = \left( {\frac{{a + 2}}{{a + 1}} - \frac{{a - 2}}{{a - 1}}} \right).\frac{{a + 1}}{a}\)

\(A = \left[ {\frac{{\left( {a + 2} \right)\left( {a - 1} \right)}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}} - \frac{{\left( {a - 2} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}} \right].\frac{{a + 1}}{a}\)

\(A = \frac{{\left( {a + 2} \right)\left( {a - 1} \right) - \left( {a - 2} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}.\frac{{a + 1}}{a}\)

\(A = \frac{{{a^2} + a - 2 - {a^2} + a + 2}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}.\frac{{a + 1}}{a}\)

\(A = \frac{{2a}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}.\frac{{a + 1}}{a} = \frac{2}{{a - 1}}\).

Để \(A = 2B\) thì \(\frac{2}{{a - 1}} = \frac{3}{{{a^2} - 1}}\) suy ra \(2\left( {{a^2} - 1} \right) = 3\left( {a - 1} \right)\)

Do đó, \(2\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right) - 3\left( {a - 1} \right) = 0\) hay \(\left( {a - 1} \right)\left( {2a + 2 - 3} \right) = 0\).

Suy ra \(\left( {a - 1} \right)\left( {2a - 1} \right) = 0\).

Suy ra \(a = 1\) (loại) hoặc \(a = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn).

Vậy \(a = \frac{1}{2}\).