Một công ty may mặc phải sản xuất \(10\,\,000\) sản phẩm trong \(x\) ngày. Khi thực hiện không những đã làm xong sớm một ngày mà còn làm thêm được \(80\) sản phẩm. Hãy biểu diễn qua \(x:\)

a) Số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch.

b) Số lượng sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày.

Gọi $x$ (học sinh) là số lượng học sinh đi tham quan $(x\in\mathbb{N}^*,\ x>27)$.

Số lượng giáo viên đi tham quan là: $x-27$ (giáo viên).

Giá vé của mỗi học sinh là:
\[
375\,000\cdot(100\%-30\%)=262\,500\ \text{(đồng)}.
\]

Giá vé của mỗi giáo viên là:
\[
375\,000\cdot(100\%-10\%)=337\,500\ \text{(đồng)}.
\]

Giá vé của $x$ học sinh là: $262\,500x$ (đồng).

Giá vé của $x-27$ giáo viên là: $337\,500(x-27)$ (đồng).

Vì tổng chi phí tham quan (sau khi giảm giá) là $12\,487\,500$ đồng nên ta có phương trình:
\[
262\,500x+337\,500(x-27)=12\,487\,500.
\]

\[
600\,000x-9\,112\,500=12\,487\,500.
\]

\[
600\,000x=21\,600\,000 \Rightarrow x=36\ (\text{thỏa mãn}).
\]

Số lượng giáo viên tham gia chuyến đi là:
\[
36-27=9.
\]

Vậy có $36$ học sinh và $9$ giáo viên tham gia chuyến đi.

a) Ta có \({x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).\)

Điều kiện xác định của biểu thức \(P\) là \(x - 1 \ne 0,\) \(x + 1 \ne 0,\) \(x \ne 0\) hay \(x \ne 1,\) \(x \ne - 1\) và \(x \ne 0.\)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(P\) là \(x \ne 1,\) \(x \ne - 1\) và \(x \ne 0.\)

b) Với điều kiện \(x \ne 1,\) \(x \ne - 1\) và \(x \ne 0,\) ta có:

\(P = \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{{{x^2} - 3x}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} + {x^2} - 3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{{x^2} + 2x + 1 - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + {x^2} - 3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{4x + {x^2} - 3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{{x^2} + x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 4}}{x}\)

\[ = \frac{{x\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \cdot x}}\]\[ = \frac{{x + 4}}{{x - 1}}.\]

Vậy với \(x \ne 1,\) \(x \ne - 1\) và \(x \ne 0,\) thì \[P = \frac{{x + 4}}{{x - 1}}.\]

c) Với \(x \ne 1,\) \(x \ne - 1\) và \(x \ne 0,\) ta có \[P = \frac{{x + 4}}{{x - 1}} = \frac{{x - 1 + 5}}{{x - 1}} = 1 + \frac{5}{{x - 1}}.\]

Với \(x\) nguyên, để \(P\) đạt giá trị nguyên thì \(\frac{{2025}}{{x - 1}}\) là số nguyên

Do đó \(5 \vdots \left( {x - 1} \right)\) hay \(x - 1 \in \)Ư\(\left( 5 \right) = \left\{ {1; - 1;5; - 5} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(x \in \left\{ {1;0;6; - 4} \right\}.\)