Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = a,\) \(AC = 3a.\) Trên cạnh \(AC\) lấy các điểm \(D,\,\,E\) sao cho \(AD = DE = EC.\)

a) Tính các tỉ số \(\frac{{DB}}{{DE}},\,\,\frac{{DC}}{{DB}}.\)

b) Chứng minh

c) Tính \(\widehat {AEB} + \widehat {ACB}.\)

d) Qua \(C\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(BD\) và cắt \(BD\) tại \(I.\) Chứng minh \(BD \cdot BI + CD \cdot CA = B{C^2}.\)

Gọi $x$ (học sinh) là số lượng học sinh đi tham quan $(x\in\mathbb{N}^*,\ x>27)$.

Số lượng giáo viên đi tham quan là: $x-27$ (giáo viên).

Giá vé của mỗi học sinh là:
\[
375\,000\cdot(100\%-30\%)=262\,500\ \text{(đồng)}.
\]

Giá vé của mỗi giáo viên là:
\[
375\,000\cdot(100\%-10\%)=337\,500\ \text{(đồng)}.
\]

Giá vé của $x$ học sinh là: $262\,500x$ (đồng).

Giá vé của $x-27$ giáo viên là: $337\,500(x-27)$ (đồng).

Vì tổng chi phí tham quan (sau khi giảm giá) là $12\,487\,500$ đồng nên ta có phương trình:
\[
262\,500x+337\,500(x-27)=12\,487\,500.
\]

\[
600\,000x-9\,112\,500=12\,487\,500.
\]

\[
600\,000x=21\,600\,000 \Rightarrow x=36\ (\text{thỏa mãn}).
\]

Số lượng giáo viên tham gia chuyến đi là:
\[
36-27=9.
\]

Vậy có $36$ học sinh và $9$ giáo viên tham gia chuyến đi.

a) Ta có \({x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).\)

Điều kiện xác định của biểu thức \(P\) là \(x - 1 \ne 0,\) \(x + 1 \ne 0,\) \(x \ne 0\) hay \(x \ne 1,\) \(x \ne - 1\) và \(x \ne 0.\)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(P\) là \(x \ne 1,\) \(x \ne - 1\) và \(x \ne 0.\)

b) Với điều kiện \(x \ne 1,\) \(x \ne - 1\) và \(x \ne 0,\) ta có:

\(P = \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{{{x^2} - 3x}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} + {x^2} - 3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{{x^2} + 2x + 1 - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + {x^2} - 3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{4x + {x^2} - 3x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{{x^2} + x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 4}}{x}\)

\[ = \frac{{x\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \cdot x}}\]\[ = \frac{{x + 4}}{{x - 1}}.\]

Vậy với \(x \ne 1,\) \(x \ne - 1\) và \(x \ne 0,\) thì \[P = \frac{{x + 4}}{{x - 1}}.\]

c) Với \(x \ne 1,\) \(x \ne - 1\) và \(x \ne 0,\) ta có \[P = \frac{{x + 4}}{{x - 1}} = \frac{{x - 1 + 5}}{{x - 1}} = 1 + \frac{5}{{x - 1}}.\]

Với \(x\) nguyên, để \(P\) đạt giá trị nguyên thì \(\frac{{2025}}{{x - 1}}\) là số nguyên

Do đó \(5 \vdots \left( {x - 1} \right)\) hay \(x - 1 \in \)Ư\(\left( 5 \right) = \left\{ {1; - 1;5; - 5} \right\}.\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(x \in \left\{ {1;0;6; - 4} \right\}.\)