Cho đường tròn Từ điểm nằm ngoài đường tròn  kẻ các tiếp tuyến  và  với đường tròn đó  là các tiếp điểm) sao cho

Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp đường tròn và tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Xét phương trình  

Ta có: .

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt  thì tức là  hay

Theo định lí Viète, ta có:

Theo bài,

Xét trường hợp 1:  suy ra  (loại do

Xét trường hợp 2: suy ra  

Thay vào ta có:  hay .

Thay  vào ta được , suy ra

Thay và vào ta được:

(thỏa mãn); (thỏa mãn).

Vậy với   thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi chiều dài và chiều rộng mảnh vườn lần lượt là và (x > 0, y > 0)

Vì mảnh vườn có chu vi là nên ta có phương trình hay .

Vì mảnh vườn có diện tích là nên ta có phương trình .

Ta có: và và  nên là nghiệm của phương trình:

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là (thỏa mãn); (thỏa mãn).

Mà chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng nên chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là

Khu trồng hoa có và nên có dạng một hình bình hành, do đó diện tích của khu trồng hoa là:

Số tiền chủ vườn phải trả cho người trồng hoa để trồng hết khu trồng hoa đó là:

(đồng).