Một chi tiết xây dựng bằng bê tông có kích thước như hình vẽ bên, gồm:

− Phía trên là một hình trụ có chiều cao \(2\,\,{\rm{m}},\) đường kính đáy \(0,5\,\,{\rm{m}}.\)

− Phía dưới là nửa hình cầu có đường kính \(0,5\,\,{\rm{m}}.\)

Mỗi xe trộn bê tông cung cấp được \(6\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) bê tông. Một công trình xây dựng cần sử dụng 40 chi tiết như ở câu a thì cần ít nhất bao nhiêu xe để đáp ứng được nhu cầu?

     

a) Thể tích hình cầu có bán kính đáy \(R,\) được tính bằng công thức: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}.\)

b) Bán kính đường tròn đáy của hình trụ là \(0,5\,\,{\rm{m}}.\)

c) Thể tích của chi tiết chi tiết xây dựng bằng bê tông là: \(\frac{{13\pi }}{{96}}\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{.}}\)

d) Một công trình xây dựng cần sử dụng 40 chi tiết xây dựng bằng bê tông như ở hình trên thì cần ít nhất 2 xe để đáp ứng được nhu cầu.

Hướng dẫn giải

Vậy bốn điểm

\(A,\,\,H,\,\,C,\,\,K\) cùng nằm trên cùng một đường tròn tâm \(I\) hay tứ giác \[AHCK\] nội tiếp.

b) Vì \[AHCK\] là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {CHK} = \widehat {CAK} = \widehat {CAE}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \[KC).\]

Lại có \[ADCE\]nội tiếp nên \(\widehat {CAE} = \widehat {CDE}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \[EC).\]

Từ đó suy ra \(\widehat {CHK} = \widehat {CDE}\) nên \(HK\,{\rm{//}}\,DE\) (đpcm).

Do \(HK\,{\rm{//}}\,DE\), mà \[H\] là trung điểm \[CD\] (quan hệ vuông góc của đường kính \[AB\] với dây \[CD\] tại \[H).\]

Suy ra \[HK\] là đường trung bình của tam giác \[CDF\] nên \[K\] là trung điểm \[FC\].

Tam giác \[AFC\] có \[AK\] là đường cao đồng thời cũng là trung tuyến.

Do đó tam giác \[CAF\]là tam giác cân tại \[K\] (đpcm).

c) Tam giác \[FAC\] cân tại \[A\] nên \[AF = AC.\]

Dễ thấy tam giác \[ACD\] cân tại \[A\] nên \[AC = AD\].

Từ đó suy ra \[AF = AD\] hay tam giác \[AFD\] cân tại \[A\], hạ \[DI \bot AF\] .

Ta có \({S_{AFD}} = \frac{1}{2}DI \cdot AF = \frac{1}{2}DI \cdot AC\).

Do \[AC\] không đổi nên \({S_{AFD}}\) lớn nhất khi và chỉ khi \[DI\] lớn nhất.

Trong tam giác vuông \[AID\] ta có:

\(ID \le AD = AC\) hay \({S_{AFD}} = \frac{1}{2}DI \cdot AF = \frac{1}{2}DI \cdot AC \le \frac{{A{C^2}}}{2}\).

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(I \equiv A\), khi đó \[\widehat {DAF} = 90^\circ \] nên tam giác \[ADF\] vuông cân tại \[A\], suy ra \(\widehat {EBA} = \widehat {EDA} = 45^\circ \) hay \[E\] là điểm chính giữa cung \[AB.\]

Vậy để diện tích tam giác \[ADF\] lớn nhất thì \[E\] là điểm chính giữa cung \[AB.\]

Hướng dẫn giải

Đáp số: 5656.

Chiếc nón Huế là một hình nón có đường kính đáy

\(d = 40\,\,{\rm{cm}}\) nên độ dài bán kính đáy là:

\(R = \frac{d}{2} = \frac{{40}}{2} = 20\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Độ dài đường sinh \(l = 30\,\,cm\).

Diện tích xung quanh của hình nón này là: \[S = \pi Rl = \pi \cdot 20 \cdot 30 = 600\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].

Vì người ta lợp nón bằng 3 lớp lá, nên diện tích lá cần dùng để tạo nên một chiếc nón Huế sẽ là:

\(600\pi \cdot 3 = 1800\pi \approx 5655\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Vậy diện tích lá cần dùng để tạo nên một chiếc nón Huế khoảng \(5655\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\)