Câu 1-3 (2,0 điểm) Cho hai biểu thức $\mathrm{A}=\frac{3\sqrt{\mathrm{x}}}{\sqrt{\mathrm{x}}+2}$ và $\mathrm{B}=\frac{\mathrm{x}+4}{\mathrm{x}-4}-\frac{2}{\sqrt{\mathrm{x}}-2}$ với $\mathrm{x}\ge 0;\mathrm{x}\ne 4$.

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x=9.

Với \[x \ge 0,\,\,x \ne 4\] ta có:

\[B = \frac{{x + 4}}{{x - 4}} - \frac{2}{{\sqrt x - 2}}\]\[ = \frac{{x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]

 \[ = \frac{{x + 4 - 2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{x + 4 - 2\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\]

 \[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.\]

Vậy với \[x \ge 0,\,\,x \ne 4\] thì \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.\]

Với \[x \ge 0,\,\,x \ne 4\] ta có:

\[A - B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}.\]

Theo bài, \[A - B < \frac{5}{4}\]

Suy ra \[\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} < \frac{5}{4}\]

\[\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{5}{4} < 0\]

\[\frac{{8\sqrt x }}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{5\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} < 0\]

\[\frac{{8\sqrt x - 5\sqrt x - 10}}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} < 0\]

\[\frac{{3\sqrt x - 10}}{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}} < 0\] (*)

Với mọi \[x \ge 0,\,\,x \ne 4\] ta có: \[\sqrt x \ge 0\] nên \[\sqrt x + 2 > 0\] nên từ bất phương trình (*) suy ra:

\[3\sqrt x - 10 < 0\]

\[3\sqrt x < 10\]

\[\sqrt x < \frac{{10}}{3}\]

    \[x < \frac{{100}}{9}\].

Kết hợp điều kiện xác định \[x \ge 0,\,\,x \ne 4\] ta có \[0 \le x < \frac{{100}}{9},\,\,x \ne 4.\]

Mà \[x\] là số nguyên dương lớn nhất nên \[x = 11\].

Vậy \(x = 11\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.