(0,5 điểm) Xét các hình hộp chữ nhật có thể tích bằng \(27\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) mà đáy là hình vuông cạnh \(a\,\,({\rm{cm}})\) và chiều cao \(h\,\,({\rm{cm}}).\) Tìm hình hộp có diện tích toàn phần nhỏ nhất.

a) Hàng rào có chiều dài là:

\[L = l + 2R = \frac{{\pi \cdot 50 \cdot 72}}{{180}} + 2 \cdot 50 \approx \frac{{3,14 \cdot 50 \cdot 72}}{{180}} + 100 = 162,8{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Gọi khối lượng thóc thu hoạch được năm ngoái của đơn vị thứ nhất và thứ hai sản xuất được lần lượt là \[x,y\] (tấn thóc, \[0 < x,\,\,y < 600).\]

Do năm ngoái hai đơn vị thu hoạch được \[600\] tấn thóc nên ta có phương trình: \[x + y = 600.\,\,\left( 1 \right)\]

Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức \(10{\rm{\% }}\) so với năm ngoái nên khối lượng thóc thu hoạch được là \(\left( {100\% + 10\% } \right)x = 110\% x = 1,1x\) (tấn thóc).

Năm nay, đơn vị thứ hai làm vượt mức \(20{\rm{\% }}\) so với năm ngoái nên khối lượng thóc thu hoạch được là \(\left( {100\% + 20\% } \right)y = 120\% y = 1,2y\) (tấn thóc).

Năm nay cả hai đơn vị thu hoạch được \[685\] tấn thóc nên ta có phương trình: \[1,1x + 1,2y = 685\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 600\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\1,1x + 1,2y = 685\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (1) với \[1,2\] ta được hệ phương trình mới \(\left\{ \begin{array}{l}1,2x + 1,2y = 720\,\,\,\,\left( 3 \right)\\1,1x + 1,2y = 685\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình (3) cho phương trình (2), ta được:

\(0,1x = 35\) suy ra \[x = 350\] (thỏa mãn).

Thay \(x = 350\) vào phương trình (1) ta được \(350 + y = 600,\) suy ra \[y = 250\] (thỏa mãn).

Vậy, năm ngoái, đơn vị thứ nhất thu hoạch được \[350\] tấn thóc; đơn vị thứ hai thu hoạch được \[250\] tấn thóc.