Tính diện tích phần kẻ sọc ở hình sau, giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính \(LM\) và hai nửa đường tròn có đường kính tương ứng là \(LN = 8\,{\rm{cm}}\) và \(NM = 4\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Với \(a > 0,\,\,a \ne 1,\) ta có:

\(A = \left( {\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}} + \frac{1}{{\sqrt a - a}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt a + 1}} + \frac{2}{{a - 1}}} \right)\)

 \[ = \left[ {\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}} - \frac{1}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{1}{{\sqrt a + 1}} + \frac{2}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right]\]

 \( = \left[ {\frac{{\sqrt a \cdot \sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}} + \frac{2}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right]\)

 \( = \frac{{a - 1}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}:\frac{{\sqrt a - 1 + 2}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}\)

 \( = \frac{{a - 1}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}} \cdot \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\sqrt a + 1}}\)

 \( = \frac{{a - 1}}{{\sqrt a }}.\)

Vậy với \(a > 0,\,\,a \ne 1\) thì \(A = \frac{{a - 1}}{{\sqrt a }}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét \(\Delta ABQ\) vuông tại \(B,\) ta có: \(AB = BQ \cdot \tan \widehat {BQA}\) suy ra \(BQ = \frac{{AB}}{{\tan \widehat {BQA}}} = \frac{{AB}}{{\tan 42^\circ }}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta ABP\) vuông tại \(B,\) ta có: \(AB = BP \cdot \tan \widehat {BPA}\) suy ra \(BP = \frac{{AB}}{{\tan \widehat {BPA}}} = \frac{{AB}}{{\tan 14^\circ }}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Ta có: \(PQ = BP - BQ\) nên \(300 = \frac{{AB}}{{\tan 14^\circ }} - \frac{{AB}}{{\tan 42^\circ }}\)

\(300 = AB\left( {\frac{1}{{\tan 14^\circ }} - \frac{1}{{\tan 42^\circ }}} \right)\)

\(AB = \frac{{300}}{{\frac{1}{{\tan 14^\circ }} - \frac{1}{{\tan 42^\circ }}}} \approx 103{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)