(1,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Trong đợt thi đấu giải bóng bàn dành cho lứa tuổi học sinh THCS của năm học 2024 – 2025. Một đội tuyển học sinh của một cụm trường THCS tham gia cuộc thi đấu bóng bàn gồm cả Nam và Nữ. Trong lớp có $\frac{1}{2}$ số học sinh nam và $\frac{5}{8}$ số học sinh nữ thi đấu tạo thành cặp (một nam kết hợp với một nữ). Số học sinh còn lại không thi đấu là 16 học sinh làm cổ động viên. Hỏi đội tuyển có tất cả bao nhiêu học sinh?

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh nam và nữ của đội tuyển lần lượt là $x,\;y$ (học sinh)$\left( {x,\,\,y \in {\mathbb{N}^*}} \right).$

$\frac{1}{2}$ số học sinh nam của đội tuyển là: $\frac{1}{2}x$ (học sinh).

$\frac{5}{8}$ số học sinh nữ của đội tuyển là: $\frac{5}{8}y$ (học sinh).

Thi đấu theo cặp thì số học sinh nam thi đấu bằng số học sinh nữ thi đấu nên ta có phương trình: $\frac{1}{2}x = \frac{5}{8}y$ hay $4x = 5y$ nên $4x - 5y = 0.$ (1)

Số học sinh nam còn lại để cổ vũ là: $x - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x$ (học sinh).

Số học sinh nữ còn lại để cổ vũ là: $y - \frac{5}{8}y = \frac{3}{8}y$ (học sinh).

Theo bài, số học sinh còn lại không thi đấu là 16 học sinh nên ta có phương trình:

$\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}y = 16$ hay $4x + 3y = 128.$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}4x - 5y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\4x + 3y = 128\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Trừ từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2), ta được phương trình:

\( - 8y =  - 128\) suy ra $y = 16$ (thỏa mãn).

Thay $y = 16$ vào phương trình (1), ta được:

$4x - 5 \cdot 16 = 0$ suy ra $4x = 80$ nên $x = 20$ (thỏa mãn).

Vậy đội tuyển có tất cả $20 + 16 = 36$ học sinh.