Câu 14-16: (3,0 điểm) Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB = 2R\). Dây \(MN\) vuông góc với \(AB\) tại \(I,\) với \(IA < IB.\) Trên đoạn \(MI\) lấy điểm \(E\) \((E\) khác \(M\) và \(I).\) Tia \[AE\] cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(K.\)

1) Chứng minh rằng tứ giác \(IEKB\) nội tiếp một đường tròn.

⦁ Ta có \(\Delta OMI\) và \(\Delta ONI\) có:

\(\widehat {OIM} = \widehat {OIN} = 90^\circ ;\) \(OM = ON\) và \(OI\) là cạnh chung

Do đó \(\Delta OMI = \Delta ONI\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \(\widehat {IOM} = \widehat {ION}\) (hai góc tương ứng) hay \(\widehat {AOM} = \widehat {AON}\)

Nên hay

Do đó  

Xét \(\Delta AME\) và \(\Delta AKM\) có: \(\widehat {MAK}\) là góc chung và \(\widehat {AME} = \widehat {AKM}\)

Do đó (g.g).

⦁ Xét \(\Delta AIE\) và \(\Delta AKB\) có: \(\widehat {AIE} = \widehat {AKB} = 90^\circ \) và \(\widehat {BAK}\) là góc chung.

Do đó  (g.g).

Suy ra \(\frac{{AI}}{{AK}} = \frac{{AE}}{{AB}}\) hay \(AI \cdot AB = AE \cdot AK.\)

Từ đề bài, ta có

\(AE \cdot AK + BI \cdot BA = AI \cdot AB + BI \cdot BA = AB\left( {AI + BI} \right) = A{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}.\)

Chu vi tam giác \(MIO\) là \(MI + IO + OM = MI + IO + R\) lớn nhất khi \(IM + IO\) lớn nhất.

Xét \(\Delta MIO\) vuông tại \(I,\) theo định lý Pythagore ta có: \(O{M^2} = {R^2} = O{I^2} + M{I^2}.\)

Mà \(2\left( {O{I^2} + M{I^2}} \right) - {\left( {OI + MI} \right)^2} = {\left( {OI - MI} \right)^2} \ge 0.\)

Suy ra \({\left( {OI + MI} \right)^2} \le 2\left( {O{I^2} + M{I^2}} \right) = 2{R^2}\)

Do đó \(OI + MI \le \sqrt 2 R\) nên \(OI + MI + R \le \left( {\sqrt 2 + 1} \right)R.\)

Dấu “=” xảy ra khi \(OI = MI = \frac{R}{{\sqrt 2 }} = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy chu vi tam giác \(MIO\) lớn nhất bằng \(R + R\sqrt 2 \) khi \(I\) thuộc đoạn thẳng \(AO\) và cách \(O\) một khoảng \(OI = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}.\)