Cho (d): 2(m - 1)x + (m - 2)y = 2. Tìm m để (d) cách gốc tọa độ 1 khoảng lớn nhất

Nếu m = 1 thì (d): y = −2 cách O một khoảng d = 2

Nếu m = 2 thì (d): x = 1 cách O một khoảng d = 1

Nếu m ≠ 1; 2

Gọi A và B là giao điểm của (d) với trục Ox, Oy

\({y_A} = 0 \Rightarrow {x_A} = \frac{1}{{m - 1}}\)

\({x_B} = 0 \Rightarrow {y_B} = \frac{2}{{m - 2}}\)

Gọi khoảng cách từ O đến (d) là hh thì theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì:

\(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = {\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{m - 2}}{2}} \right)^2}\)

Để h_max thì \(\frac{1}{{{h^2}}}\)​ min hay \({\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{m - 2}}{2}} \right)^2}\) min

Dễ thấy:

​\({\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{m - 2}}{2}} \right)^2} = \frac{3}{2}{m^2} - 4m + 3 = \frac{3}{2}{\left( {m - \frac{4}{3}} \right)^2} + \frac{1}{3} \ge \frac{1}{3},\forall m\)

Khi đó h = 3

Thông qua các TH trên thì thấy m = 1 thì thỏa mãn đề.