Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 + y2 + z2 + xyz = 20

Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z ≥ 1 Khi đó ta có: x2 + y2 + z2 + xyz = 20 ≥ z3 + 3z2 suy ra z = 1 hoặc z = 2 Với z = 1: 19 = xy + x2 + y2 ≥ y2 + y2 + y2 = 3y2 ⇒ y = 1 hoặc y = 2 Với y = 1: x2 + 1 + 1 + x = 20 ⇔ x2 + x – 18 = 0 không có nghiệm nguyên dương. Với y = 2: x2 + 22 + 12 + 1.2.x = 20 ⇔ x2 + 2x − 15 = 0 ⇔ (x − 3)(x + 5) = 0 ⇒ x = 3 thỏa mãn. Ta có nghiệm là (1,2,3) và các hoán vị. Với z = 2: 20 = 2xy + x2 + y2 + 4 ≥ 2y2 + y2 + y2 = 4y2 ⇒ y = 2 x2 + 22 + 22 + 2.2.x = 20 ⇔ x2 + 4x−12=0 ⇔ (x − 2)(x + 6) = 0 ⇒ x = 2 thỏa mãn. Ta có nghiệm là (2,2,2).

Câu hỏi:

14/03/2025 83

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x² + y² + z² + xyz = 20

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025).

Tải ngay

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Không mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z ≥ 1

Khi đó ta có: x² + y² + z² + xyz = 20 ≥ z³ + 3z²

suy ra z = 1 hoặc z = 2

Với z = 1:

19 = xy + x² + y2 ≥ y² + y² + y² = 3y²

⇒ y = 1 hoặc y = 2

Với y = 1: x² + 1 + 1 + x = 20

⇔ x² + x – 18 = 0 không có nghiệm nguyên dương.

Với y = 2: x² + 2² + 1² + 1.2.x = 20

⇔ x² + 2x − 15 = 0

⇔ (x − 3)(x + 5) = 0

⇒ x = 3 thỏa mãn.

Ta có nghiệm là (1,2,3) và các hoán vị.

Với z = 2:

20 = 2xy + x² + y² + 4 ≥ 2y² + y² + y² = 4y²

⇒ y = 2

x² + 2² + 2² + 2.2.x = 20

⇔ x² + 4x−12=0

⇔ (x − 2)(x + 6) = 0

⇒ x = 2 thỏa mãn.

Ta có nghiệm là (2,2,2).

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Sách - 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Dành cho ôn thi THPT 2025) VietJack

Đã bán 187

₫ 135.000 ₫ 38.500

Hà Nội

Sách - 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 Vietjack theo chương trình mới cho 2k7

Đã bán 1,3k

₫ 36.000 ₫ 18.000

Hà Nội

Combo - Sổ tay Lý thuyết trọng tâm lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL

Đã bán 1,5k

₫ 70.000 ₫ 36.000

Hà Nội

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2024 cho 2k7 VietJack

Đã bán 1,4k

₫ 280.000 ₫ 150.000

Hà Nội

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tung độ là gì? Hoành độ là gì? (trong hàm số bậc nhất)

Xem đáp án » 14/03/2025 4,330

Câu 2:

Tham số là gì?

Xem đáp án » 13/03/2025 916

Câu 3:

Giá trị nguyên là gì?

Xem đáp án » 14/03/2025 741

Câu 4:

Số 0 có phải là số tự nhiên không?

Xem đáp án » 13/03/2025 485

Câu 5:

1 giờ 10 phút bằng bao nhiêu giờ?

Xem đáp án » 13/03/2025 423

Câu 6:

Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn x² – x(y + 5) = –4y – 9

Xem đáp án » 14/03/2025 413

Câu 7:

So sánh $A = \frac{10^{2024} + 1}{10^{2023} + 1}$ và $B = \frac{10^{2023} + 1}{10^{2022} + 1}$

Xem đáp án » 13/03/2025 407

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x2 + y2 + z2 + xyz = 20

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Tung độ là gì? Hoành độ là gì? (trong hàm số bậc nhất)

Tham số là gì?

Giá trị nguyên là gì?

Số 0 có phải là số tự nhiên không?

1 giờ 10 phút bằng bao nhiêu giờ?

Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn x2 – x(y + 5) = –4y – 9

So sánh A=102024+1102023+1 và B=102023+1102022+1

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x² + y² + z² + xyz = 20

Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn x² – x(y + 5) = –4y – 9

So sánh $A = \frac{10^{2024} + 1}{10^{2023} + 1}$ và $B = \frac{10^{2023} + 1}{10^{2022} + 1}$