Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Kẻ tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt \(BC\) tại \(M.\) Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(K.\) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AM\) và \(CK,\) \(BH\) cắt \(AC\) tại \(E\).

a) \(\Delta ABM = \Delta AMC.\)

b) Do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AM\) vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, đường trung tuyến.

Suy ra \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Mà \(MK\parallel AC\) nên \(MK\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Do đó, \(K\) là trung điểm của \(AB.\)

c) Ta có \(\Delta AMB\) vuông tại \(M\)có \(K\) là trung điểm của \(AB.\)

Do đó, \(MK\) là đường trung tuyến của tam giác vuông \(AMB\).

Suy ra \(MK = KA = KB\).

d) Trên tia \(BE\) lấy điểm \(F\) sao cho \(E\) là trung điểm của \(BF.\)

Ta có hai đường trung tuyến \(AM,CK\) cắt nhau ở \(H\).

Suy ra \(H\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Mà \(BH\) cắt \(AC\) tại \(E\) nên \(E\) là trung điểm của \(AC\).

Xét tam giác \(\Delta FAE\) và \(\Delta BCE\) có:

\(BE = EF\) (gt)

\(\widehat {CEB} = \widehat {AEF}\) (đối đỉnh)

\(AE = EC\)

Do đó, \(\Delta FAE = \Delta BCE\) (c.g.c)

Suy ra \(FA = BC\) (hai cạnh tương ứng)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác \(ABF\) có \(AB + AF > BF\). Suy ra \(AB + BC > 2BE\).