Câu 1-3. (1,5 điểm) Cho biểu thức $\mathrm{K}=\left(\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}-1}-\frac{\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}+1}+\frac{{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-1}{{\mathrm{x}}^2-1}\right)\cdot \frac{\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}}$ .

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức \(K.\)

b) Với \[x \ne 1\,;\,\,x \ne - \,1;\,\,x \ne 0\], ta có:

\[K = \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{{{x^2} - 4x - 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x + 3}}{x}\]

\[ = \left[ {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{{x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x + 3}}{x}\]

\[ = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{x}\]

\[ = \frac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1 + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{x}\]

\[ = \frac{{4x + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{x}\]

\[ = \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{x} = \frac{{x + 3}}{x}.\]

Vậy với \[x \ne 1\,;\,\,x \ne - \,1;\,\,x \ne 0\] thì \(K = \frac{{x + 3}}{x}.\)

c) Ta có \(K = \frac{{x + 3}}{x} = 1 + \frac{3}{x}.\)

Để biểu thức \(K\) nhận giá trị nguyên thì \(\frac{3}{x} \in \mathbb{Z}\).

Khi đó, \(x \in \)Ư\[\left( 3 \right) = \left\{ { - 1\,;\,\,\,1\,;\,\, - 3\,;\,\,3} \right\}\] và \[x \ne 1\,;\,\,x \ne - \,1;\,\,x \ne 0\] nên \(x \in \left\{ { - 3\,;\,\,3} \right\}\).

Vậy với \(x \in \left\{ { - 3\,;\,\,3} \right\}\) thì biểu thức \(K\) nhận giá trị nguyên.