Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\rm{log}}\left( {2x + {2^y}} \right) \le 1\)

Đáp án D

Hướng dẫn giải

Ta có:

\({\rm{log}}\left( {2x + {2^y}} \right) \le 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + {2^y} > 0}\\{2x + {2^y} \le 10}\end{array} \Leftrightarrow 2x + {2^y} \le 10{\rm{\;}}} \right.\) (vì \(\left( {x;y} \right)\) nguyên dương).

\(\left( {x;y} \right)\) nguyên dương nên \(2x + {2^y} \le 10 \Rightarrow {2^y} \le 8 \Rightarrow 1 \le y \le 3\).

Với \(y = 1 \Rightarrow 2x \le 8 \Rightarrow x \le 4 \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\) có 4 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.

Với \(y = 2 \Rightarrow 2x \le 6 \Rightarrow x \le 3 \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3} \right\}\) có 3 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.

Với \(y = 3 \Rightarrow 2x \le 2 \Rightarrow x \le 1 \Rightarrow x = 1\) có 1 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.

Vậy có tất cả 8 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn đề bài.