Cho tam giác ABC, điểm J thỏa mãn \(\overrightarrow {{\rm{AK}}}  = 3\overrightarrow {{\rm{KJ}}} \), I là trung điểm của cạnh AB, điểm K thỏa mãn \[\overrightarrow {{\rm{KA}}}  + \overrightarrow {{\rm{KB}}}  + 2\overrightarrow {{\rm{KC}}}  = \overrightarrow 0 \]. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: \[{\rm{(3}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{AK}}} {\rm{)}}{\rm{.(}}\overrightarrow {{\rm{MA}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{MB}}} {\rm{ + 2}}\overrightarrow {{\rm{MC}}} {\rm{) = 0}}\]

Lời giải:

Ta có: \[{\rm{(3}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{AK}}} {\rm{)}}{\rm{.(}}\overrightarrow {{\rm{MA}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{MB}}} {\rm{ + 2}}\overrightarrow {{\rm{MC}}} {\rm{) = 0}}\]

\[{\rm{(3}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{AK}}} {\rm{)}}{\rm{.(}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{KA}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{KB}}} {\rm{ + 2}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ + 2}}\overrightarrow {{\rm{KC}}} {\rm{) = 0}}\]

\[{\rm{(3}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{AK}}} {\rm{)}}{\rm{.(4}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{KA}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{KB}}} {\rm{ + 2}}\overrightarrow {{\rm{KC}}} {\rm{) = 0}}\]

\[{\rm{(3}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ + }}\overrightarrow {{\rm{AK}}} {\rm{)}}{\rm{.4}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ = 0}}\]

\[{\rm{(3}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ + 3}}\overrightarrow {{\rm{KJ}}} {\rm{)}}{\rm{.4}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ = 0}}\]

\[{\rm{3}}\overrightarrow {{\rm{MJ}}} {\rm{.4}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ = 0}}\]

\[\overrightarrow {{\rm{MJ}}} {\rm{.}}\overrightarrow {{\rm{MK}}} {\rm{ = 0}}\]

Suy ra MK \[ \bot \] MJ hay \(\widehat {JMK} = 90^\circ \)

Vậy tập hợp điểm M là: M thuộc đường tròn đường kính KJ.