Tìm p nguyên tố sao cho \(\frac{{{p^2} + 1}}{2};\frac{{p + 1}}{2}\) đều là số chính phương.

Lời giải:

\(y = \frac{{2\sin x + \cos x}}{{\sin x + 2\cos x + 4}}\)

⇔ 2sinx + cosx = y.sinx + y.2cosx + 4y

⇔ (y.sinx – 2sinx) + (cosx.2y – cosx) = – 4y

⇔ sinx(y – 2) + cosy(2y – 1) = – 4y (*)

Điều kiện để (*) có nghiệm là: (y – 2)² + (2y – 1)² ≥ 16y²

⇔ 16y² – 8y + 5 ≤ 0

⇔ \(\frac{{ - 4 - \sqrt {71} }}{{11}} \le y \le \frac{{ - 4 + \sqrt {71} }}{{11}}\)

Vậy tập giá trị của y là \(\left[ {\frac{{ - 4 - \sqrt {71} }}{{11}};\frac{{ - 4 + \sqrt {71} }}{{11}}} \right]\)

Lời giải:

Ta có: x∈\(\left[ {0;\frac{{7\pi }}{{12}}} \right]\)

⇒ \(0 \le 2x \le \frac{{7\pi }}{6}\)

⇒ \( - \frac{1}{2} \le \sin 2x \le 1\)

⇒ \( - \frac{1}{2} \le 7m + 3 \le 1\)

⇒ \( - \frac{1}{2} \le m \le - \frac{2}{7}\)

Vậy \(m \in \left[ { - \frac{1}{2}; - \frac{2}{7}} \right]\)