Tìm p nguyên tố sao cho \(\frac{{{p^2} + 1}}{2};\frac{{p + 1}}{2}\) đều là số chính phương.

Lời giải:

Khi rót từ thùng 1 sang thùng 2 thì tổng số lít dầu 2 thùng không đổi, là 280 lít 

Số lít dầu thùng 2 lúc này:

(280 + 16) : 2 = 148 (lít)

Số lít dầu thùng 2 ban đầu:

148 – 25 = 123 (lít)

Số lít dầu thùng 1 ban đầu:

280 – 123 = 157  (lít)

Lời giải:

\(y = \frac{{2\sin x + \cos x}}{{\sin x + 2\cos x + 4}}\)

⇔ 2sinx + cosx = y.sinx + y.2cosx + 4y

⇔ (y.sinx – 2sinx) + (cosx.2y – cosx) = – 4y

⇔ sinx(y – 2) + cosy(2y – 1) = – 4y (*)

Điều kiện để (*) có nghiệm là: (y – 2)² + (2y – 1)² ≥ 16y²

⇔ 16y² – 8y + 5 ≤ 0

⇔ \(\frac{{ - 4 - \sqrt {71} }}{{11}} \le y \le \frac{{ - 4 + \sqrt {71} }}{{11}}\)

Vậy tập giá trị của y là \(\left[ {\frac{{ - 4 - \sqrt {71} }}{{11}};\frac{{ - 4 + \sqrt {71} }}{{11}}} \right]\)