Câu hỏi:
10/05/2025 11
Tìm p nguyên tố sao cho \(\frac{{{p^2} + 1}}{2};\frac{{p + 1}}{2}\) đều là số chính phương.
Tìm p nguyên tố sao cho \(\frac{{{p^2} + 1}}{2};\frac{{p + 1}}{2}\) đều là số chính phương.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
Đặt \[\frac{{p + 1}}{2} = {x^2};\frac{{{p^2} + 1}}{2} = {y^2}\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*};x < y} \right)\]
Suy ra: p + 1 = 2x2; p2 + 1 = 2y2
⇒ p + 1 = 2x2; p2 + 1 = 2y2 nên p là số lẻ
Ta dễ thấy rằng 2x2 ≡ 2y2 (modp) mà p lẻ x2 ≡ y2 (modp)
Mặt khác ta có: x2 – y2 = (x – y)(x + y) ⋮ p
⇒ x + y = p (vì x < y < p)
Từ đó ta dễ có rằng p2 + 1 = 2(p – x)2 = 2p2 – 4px + 2x2 = 2p2 – 4px + p + 1
⇒ 4px = p2 + p
⇒ 4x = p + 1
⇒ 2x2 = 4x
⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)
⇒ \(\left[ \begin{array}{l}p = - 1\\p = 7\end{array} \right.\)
Mà p là số nguyên tố nên p = 7.
Vậy p = 7.
Sách thầy cô Vietjack biên soạn
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tam giác ABC có G là trọng tâm, qua G kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M, qua M kẻ đường thẳng song song với AG cắt BC tại N. Tính \(\frac{{BN}}{{BC}}\)?
Tam giác ABC có G là trọng tâm, qua G kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M, qua M kẻ đường thẳng song song với AG cắt BC tại N. Tính \(\frac{{BN}}{{BC}}\)?
Xem đáp án »
10/05/2025
30
Câu 3:
Hai thùng đựng tất cả 280 lít dầu. Nếu rót từ thùng 1 sang thùng 2 25 lít dầu thì thùng 2 hơn thùng 1 16 lít. vậy lúc đầu mỗi thùng có bao nhiêu lít dầu?
Hai thùng đựng tất cả 280 lít dầu. Nếu rót từ thùng 1 sang thùng 2 25 lít dầu thì thùng 2 hơn thùng 1 16 lít. vậy lúc đầu mỗi thùng có bao nhiêu lít dầu?
Xem đáp án »
10/05/2025
22
Câu 5:
Cho đa thức P(1) = 1; \(P\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\). P(x), với mọi x khác 0 và P(x1 + x2) = P(x1) + P(x2) với mọi x1, x2 ∈ ℝ. Tính \(P\left( {\frac{3}{7}} \right)\)
Cho đa thức P(1) = 1; \(P\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\). P(x), với mọi x khác 0 và P(x1 + x2) = P(x1) + P(x2) với mọi x1, x2 ∈ ℝ. Tính \(P\left( {\frac{3}{7}} \right)\)
Xem đáp án »
10/05/2025
19
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
80 câu Bài tập Hình học Khối đa diện có lời giải chi tiết (P1)
-
148 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu từ đề thi Đại học có lời giải (P1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
-
20 câu Trắc nghiệm Phương trình đường thẳng trong không gian có đáp án (Nhận biết)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận