Cho hệ phương trình tham số m: \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 3\\mx + y = 2m + 1\end{array} \right.\)

Biết hệ có nghiệm duy nhất (x;y). Tìm giá trị nhỏ nhất P = x² + 3y²

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 3\\mx + y = 2m + 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 3\\{m^2}x + my = 2{m^2} + m\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 3\\\left( {{m^2} - 1} \right)x = 2{m^2} + m - 3\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 3\\x = \frac{{2{m^2} + m - 3}}{{{m^2} - 1}} = \frac{{\left( {2m + 3} \right)\left( {m - 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)}} = \frac{{2m + 3}}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{{m + 1}}\\x = \frac{{2m + 3}}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Khi đó P = x² + 3y² =

\({\left( {\frac{{2m + 3}}{{m + 1}}} \right)^2} + 3.{\left( {\frac{1}{{m + 1}}} \right)^2} = 4 + \frac{4}{{m + 1}} + \frac{4}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} = {\left( {\frac{2}{{m + 1}} + 1} \right)^2} + 3 \ge 3\)

Vậy P_min = 3 khi m = -3

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2\left( {xy + 3x - y} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} + 4x - 2y = 0\end{array} \right.\)

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2\left( {xy + 3x - y} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} + 4x - 2y = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:

2(xy + 3x – y) – 4x + 2y = 0

2xy + 2x = 0

2x(y + 1) = 0

Suy ra: x = 0 hoặc y = -1

+ Với x = 0, thay vào (2) ta có: y² – 2y = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 2\end{array} \right.\)

+ Với y = -1, thay vào (2) ta có: x² + 4x + 3 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\)

Câu 2

Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {3x + y} \right) = 4\\7{x^3} + 11 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right)\end{array} \right.\)

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {3x + y} \right) = 4\\7{x^3} + 11 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right)\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {3x + y} \right) = 4\\7{x^3} + 12 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right) + 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\7{x^3} + 12 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right) + 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\7{x^3} + 3xy\left( {3x + y} \right) = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right) + 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\{\left( {2x + y} \right)^3} = {\left( {x + y + 1} \right)^3}\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\2x + y = x + y + 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = - 4\\x = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 4\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy (x;y) = (1;4) , (1;-4)

Câu 3