Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{2}\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) = xy + \frac{1}{{xy}}\end{array} \right.\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{2}\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) = xy + \frac{1}{{xy}}\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) + \left( {y + \frac{1}{x}} \right) = \frac{9}{2}\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) = \left( {x + \frac{1}{y}} \right)\left( {y + \frac{1}{x}} \right)\end{array} \right.\)

Đặt \(x + \frac{1}{y} = a;y + \frac{1}{x} = b\)

Khi đó ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = \frac{9}{2}\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}a = ab\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{2} - b\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\left( {\frac{9}{2} - b} \right) = \left( {\frac{9}{2} - b} \right)b\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{2} - b\\7 - 6b + {b^2} = 0\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{2} - b\\\left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = - 7\end{array} \right.\end{array} \right.\) ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{2}\\b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{23}}{2}\\b = - 7\end{array} \right.\end{array} \right.\) ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} = \frac{7}{2}\\y + \frac{1}{x} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} = \frac{{23}}{2}\\y + \frac{1}{x} = - 7\end{array} \right.\end{array} \right.\)

+ Với \[\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} = \frac{7}{2}\\y + \frac{1}{x} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{{1 - \frac{1}{x}}} = \frac{7}{2}\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {1 - \frac{1}{x}} \right) + 1 = \frac{7}{2}\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{2} - \frac{7}{{2x}}\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{7}{{2x}} - \frac{7}{2} = 0\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 7 - 2x = 0\left( {VN} \right)\\y = 1 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\]

+ Với \(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{y} = \frac{{23}}{2}\\y + \frac{1}{x} = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{{ - 7 - \frac{1}{x}}} = \frac{{23}}{2}\\y = - 7 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = \frac{{161x}}{{2x}} + \frac{{23}}{{2x}}\\y = - 7 - \frac{1}{x}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}49{x^2} - 161x - 23 = 0\\y = - 7 - \frac{1}{x}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{23 + 3\sqrt {69} }}{{14}}\\y = \frac{{ - 161 - 21\sqrt {69} }}{{46}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{23 - 3\sqrt {69} }}{{14}}\\y = \frac{{ - 161 + 21\sqrt {69} }}{{46}}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2\left( {xy + 3x - y} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} + 4x - 2y = 0\end{array} \right.\)

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2\left( {xy + 3x - y} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} + 4x - 2y = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:

2(xy + 3x – y) – 4x + 2y = 0

2xy + 2x = 0

2x(y + 1) = 0

Suy ra: x = 0 hoặc y = -1

+ Với x = 0, thay vào (2) ta có: y² – 2y = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 2\end{array} \right.\)

+ Với y = -1, thay vào (2) ta có: x² + 4x + 3 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\)

Câu 2

Thế kỉ XV bắt đầu từ năm nào đến hết năm nào?

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

Thế kỉ XV bắt đầu từ năm 1501 đến năm 1600.

Câu 3