Biết x, y, z là những số nguyên thỏa mãn x³ + y³ + z³ chia hết cho 27. Chứng minh rằng hoặc cả ba số x, y, z cùng chia hết cho 3, hoặc 2 trong ba số có tổng chia hết cho 9.

Lời giải:

Ta có: (x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ +3(x + y)(y + z)(z + x) (*)

Lại có: 

x³ + y³ + z³ ⋮ 3

3(x +y )(y + z)(z + x) ⋮ 3

nên (x + y + z)³ ⋮ 3

⇒ x +y + z ⋮ 3

⇒ (x + y + z)³ ⋮ 27

Kết hợp với (*) và x³ + y³ + z³ ⋮ 27

⇒ 3(x + y)(y + z)(z + x) ⋮ 27

⇒ (x + y)(y + z)(z + x) ⋮ 9 (1)

+) Nếu cả 3 số x; y; z cùng chia hết cho 3 ta có đpcm

+) Nếu 3 số x; y; z không cùng chia hết cho 3

Thấy rẳng nếu x; y; z cùng dư 1 hoặc 2 thì mâu thuẫn với (1)

Do đó, để (1) đúng thì trong 3 số x; y; z chỉ có 2 số chia hết cho 3 hoặc có 1 số chia 3 dư 1; 1 số chia 3 dư 2

- Nếu trong 3 số x; y; z chỉ có 2 số chia hết cho 3; giả sử x; y chia hết cho 3

Khi đó; x + y ⋮ 3; y + z ⋮̸ 3; z + x ⋮̸̸ 3

Để (1) đúng thì x + y ⋮ 9(đpcm)

- Nếu trong 3 số x;y;z có 1 số chia 3 dư 1; 1 số chia 3 dư 2; giả sử 2 số đó là y; z

Khi đó, x + y ⋮̸ 3; y + z ⋮ 3; z + x ⋮̸ 3

Để (1) đúng thì y + z ⋮ 9 (đpcm)

Vậy ta có điều phải chứng minh.