Câu hỏi:

19/08/2025 137

Biết x, y, z là những số nguyên thỏa mãn x³ + y³ + z³ chia hết cho 27. Chứng minh rằng hoặc cả ba số x, y, z cùng chia hết cho 3, hoặc 2 trong ba số có tổng chia hết cho 9.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Ta có: (x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ +3(x + y)(y + z)(z + x) (*)

Lại có:

x³ + y³ + z³ ⋮ 3

3(x +y )(y + z)(z + x) ⋮ 3

nên (x + y + z)³ ⋮ 3

⇒ x +y + z ⋮ 3

⇒ (x + y + z)³ ⋮ 27

Kết hợp với (*) và x³ + y³ + z³ ⋮ 27

⇒ 3(x + y)(y + z)(z + x) ⋮ 27

⇒ (x + y)(y + z)(z + x) ⋮ 9 (1)

+) Nếu cả 3 số x; y; z cùng chia hết cho 3 ta có đpcm

+) Nếu 3 số x; y; z không cùng chia hết cho 3

Thấy rẳng nếu x; y; z cùng dư 1 hoặc 2 thì mâu thuẫn với (1)

Do đó, để (1) đúng thì trong 3 số x; y; z chỉ có 2 số chia hết cho 3 hoặc có 1 số chia 3 dư 1; 1 số chia 3 dư 2

- Nếu trong 3 số x; y; z chỉ có 2 số chia hết cho 3; giả sử x; y chia hết cho 3

Khi đó; x + y ⋮ 3; y + z ⋮̸ 3; z + x ⋮̸̸ 3

Để (1) đúng thì x + y ⋮ 9(đpcm)

- Nếu trong 3 số x;y;z có 1 số chia 3 dư 1; 1 số chia 3 dư 2; giả sử 2 số đó là y; z

Khi đó, x + y ⋮̸ 3; y + z ⋮ 3; z + x ⋮̸ 3

Để (1) đúng thì y + z ⋮ 9 (đpcm)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Phân tích đa thức thành nhân tử: x⁷ + x⁵ + 1

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

x⁷ + x⁵ + 1

= (x⁷ + x⁶ + x⁵) – (x⁶ – 1)

= x⁵(x² + x + 1) – (x³ – 1)(x³ + 1)

= x⁵(x² + x + 1) – (x – 1)(x² + x + 1)(x³ + 1)

= (x² + x + 1)[x⁵ – (x – 1)(x³ + 1)]

Câu 2

Giải phương trình \({x^2} - 6x + 2 = 2\left( {2 - x} \right)\sqrt {2x - 1} \)

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

ĐKXĐ: \(x \ge \frac{1}{2}\)

\({x^2} - 6x + 2 = 2\left( {2 - x} \right)\sqrt {2x - 1} \)

⇔ \({x^2} + 2x\sqrt {2x - 1} + 2x - 1 = 4\left( {2x - 1} \right) + 4\sqrt {2x - 1} + 1\)

⇔ \({\left( {x + \sqrt {2x - 1} } \right)^2} = {\left( {2\sqrt {2x - 1} + 1} \right)^2}\) (*)

Do \(x \ge \frac{1}{2}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {2x - 1} > 0\\2\sqrt {2x - 1} + 1 > 0\end{array} \right.\)

Nên (*) tương đương: \(x + \sqrt {2x - 1} = 2\sqrt {2x - 1} + 1\)

⇔ \(x - 1 = \sqrt {2x - 1} \)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 2x - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x = 2 + \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Vậy \(x = 2 + \sqrt 2 \)

Câu 3