Câu hỏi:
10/05/2025 10
Biết x, y, z là những số nguyên thỏa mãn x3 + y3 + z3 chia hết cho 27. Chứng minh rằng hoặc cả ba số x, y, z cùng chia hết cho 3, hoặc 2 trong ba số có tổng chia hết cho 9.
Biết x, y, z là những số nguyên thỏa mãn x3 + y3 + z3 chia hết cho 27. Chứng minh rằng hoặc cả ba số x, y, z cùng chia hết cho 3, hoặc 2 trong ba số có tổng chia hết cho 9.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
Ta có: (x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 +3(x + y)(y + z)(z + x) (*)
Lại có:
x3 + y3 + z3 ⋮ 3
3(x +y )(y + z)(z + x) ⋮ 3
nên (x + y + z)3 ⋮ 3
⇒ x +y + z ⋮ 3
⇒ (x + y + z)3 ⋮ 27
Kết hợp với (*) và x3 + y3 + z3 ⋮ 27
⇒ 3(x + y)(y + z)(z + x) ⋮ 27
⇒ (x + y)(y + z)(z + x) ⋮ 9 (1)
+) Nếu cả 3 số x; y; z cùng chia hết cho 3 ta có đpcm
+) Nếu 3 số x; y; z không cùng chia hết cho 3
Thấy rẳng nếu x; y; z cùng dư 1 hoặc 2 thì mâu thuẫn với (1)
Do đó, để (1) đúng thì trong 3 số x; y; z chỉ có 2 số chia hết cho 3 hoặc có 1 số chia 3 dư 1; 1 số chia 3 dư 2
- Nếu trong 3 số x; y; z chỉ có 2 số chia hết cho 3; giả sử x; y chia hết cho 3
Khi đó; x + y ⋮ 3; y + z ⋮̸ 3; z + x ⋮̸̸ 3
Để (1) đúng thì x + y ⋮ 9(đpcm)
- Nếu trong 3 số x;y;z có 1 số chia 3 dư 1; 1 số chia 3 dư 2; giả sử 2 số đó là y; z
Khi đó, x + y ⋮̸ 3; y + z ⋮ 3; z + x ⋮̸ 3
Để (1) đúng thì y + z ⋮ 9 (đpcm)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Sách thầy cô Vietjack biên soạn
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {3x + y} \right) = 4\\7{x^3} + 11 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right)\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {3x + y} \right) = 4\\7{x^3} + 11 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right)\end{array} \right.\)
Xem đáp án »
10/05/2025
16
Câu 2:
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3}\left( {{y^2} + 3y + 3} \right) = 3{y^2}\\{y^3}\left( {{z^2} + 3z + 3} \right) = 3{z^2}\\{z^3}\left( {{x^2} + 3x + 3} \right) = 3{x^2}\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3}\left( {{y^2} + 3y + 3} \right) = 3{y^2}\\{y^3}\left( {{z^2} + 3z + 3} \right) = 3{z^2}\\{z^3}\left( {{x^2} + 3x + 3} \right) = 3{x^2}\end{array} \right.\)
Xem đáp án »
10/05/2025
14
Câu 4:
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 4x + 2y = 0\\{x^2} + 7{y^2} - 4xy + 6y = 13\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 4x + 2y = 0\\{x^2} + 7{y^2} - 4xy + 6y = 13\end{array} \right.\)
Xem đáp án »
10/05/2025
13
Câu 5:
Giải phương trình vô tỉ: \({x^2} - x - 1000\sqrt {1 + 8000x} = 1000\)
Giải phương trình vô tỉ: \({x^2} - x - 1000\sqrt {1 + 8000x} = 1000\)
Xem đáp án »
10/05/2025
13
Câu 6:
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{2}\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) = xy + \frac{1}{{xy}}\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{2}\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) = xy + \frac{1}{{xy}}\end{array} \right.\)
Xem đáp án »
10/05/2025
12
Câu 7:
Tìm x, y, z biết: \(\frac{x}{4} = \frac{{ - 9}}{y} = \frac{z}{8} = \frac{{ - 24}}{{32}}\)
Tìm x, y, z biết: \(\frac{x}{4} = \frac{{ - 9}}{y} = \frac{z}{8} = \frac{{ - 24}}{{32}}\)
Xem đáp án »
10/05/2025
12
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
80 câu Bài tập Hình học Khối đa diện có lời giải chi tiết (P1)
-
148 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu từ đề thi Đại học có lời giải (P1)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
-
62 câu Trắc nghiệm Khái niệm về khối đa diện (nhận biết)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận