Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3}\left( {{y^2} + 3y + 3} \right) = 3{y^2}\\{y^3}\left( {{z^2} + 3z + 3} \right) = 3{z^2}\\{z^3}\left( {{x^2} + 3x + 3} \right) = 3{x^2}\end{array} \right.\)

Lời giải:

Nếu 1 trong 3 số x, y, z có một số bằng 0 thì x = y = z = 0

Nếu xyz khác 0. Ta chia lần lượt các phương trình cho x³y², y³z², z³x²

Ta được hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}3{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} = 3{\left( {\frac{1}{y}} \right)^2} + \frac{3}{y} + 1\\3{\left( {\frac{1}{y}} \right)^2} = 3{\left( {\frac{1}{z}} \right)^2} + \frac{3}{z} + 1\\3{\left( {\frac{1}{z}} \right)^2} = 3{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + \frac{3}{x} + 1\end{array} \right.\)

Đặt \(u = \frac{1}{x};v = \frac{1}{y};t = \frac{1}{z}\)

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}3{u^3} = 3{v^2} + 3v + 1\left( 1 \right)\\3{v^3} = 3{t^2} + 3t + 1\left( 2 \right)\\3{t^3} = 3{u^2} + 3u + 1\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1), (2), (3) ta có: u, v, t > 0

Giả sử u ≥ v ≥ t > 0

Vì 3u³ ≥ 3t³ mà 3u² + 3u + 1 ≥ 3v² + 3v + 1

Hay 3t³ ≥ 3u³

Suy ra: t = u

Mà u ≥ v ≥ t nên u = v = t hay x = y = z

Thay vào ta được:

3u³ = 3u² + 3u + 1

⇔ \(u = \frac{1}{{\sqrt[3]{4} - 1}} \Rightarrow x = \sqrt[3]{4} - 1\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}x = y = z = 0\\x = y = z = \sqrt[3]{4} - 1\end{array} \right.\)