Câu hỏi:
10/05/2025 9
Cho tam giác ABC, M thuộc tam giác đó. AM, BM, CM cắt BC, CA, AB tại P, R, Q. Chứng minh:
a) MA.BC + MB.CA + MC .AB ≥ 4SABC
b) Xác định vị trí của M để diện tích tam giác PQR lớn nhất
Cho tam giác ABC, M thuộc tam giác đó. AM, BM, CM cắt BC, CA, AB tại P, R, Q. Chứng minh:
a) MA.BC + MB.CA + MC .AB ≥ 4SABC
b) Xác định vị trí của M để diện tích tam giác PQR lớn nhất
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
Kẻ BE, CF vuông góc với AM.
Ta có:
MA.BC = MA.(BP + CP) ≥ MA.(BE + CF) = 2SABM + 2SCAM
Tương tự:
MB.CA ≥ 2SBCM + 2SABM
MC.AB ≥ 2SCAM + 2SBCM
Suy ra:
MA.BC + MB.CA + MC.AB ≥ 2(2SBCM + 2SABM + 2 SCAM) = 4SABC
Dấu “=” xảy ra khi M là trực tâm
b) SPQR = SABC – SAQR – SBPQ – SCRQ
Đặt \(\frac{{AQ}}{{QB}} = x;\frac{{BP}}{{PC}} = y;\frac{{CR}}{{RA}} = z\)
⇒ \(\frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{x}{{x + 1}};\frac{{AR}}{{AC}} = \frac{1}{{z + 1}}\)
\[\frac{{{S_{AQR}}}}{{{S_{ACB}}}} = \frac{{AQ}}{{AB}}.\frac{{AR}}{{AC}} = \frac{x}{{\left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right)}}\]
Tương tự: \[\frac{{{S_{BPQ}}}}{{{S_{ACB}}}} = \frac{y}{{\left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\]
\[\frac{{{S_{CRP}}}}{{{S_{CBA}}}} = \frac{z}{{\left( {z + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}}\]
⇒ \[\frac{{{S_{AQR}}}}{{{S_{ACB}}}} + \frac{{{S_{BPQ}}}}{{{S_{ACB}}}} + \frac{{{S_{CRP}}}}{{{S_{CBA}}}} = \frac{z}{{\left( {z + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}} + \frac{y}{{\left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{x}{{\left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right)}}\]
\[\frac{{{S_{PQR}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{xyz + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}}\]
Theo định lý Ceva có: xyz = 1 nên
\[\frac{{{S_{PQR}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{1 + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}} = \frac{{1 + 1}}{{1 + xy + yz + zx + x + y + z + 1}}\]
Do xy + yz + zx + x + y + z\( \ge 6\sqrt[6]{{xyz}} = 6\)
Suy ra: \[\frac{{{S_{PQR}}}}{{{S_{ABC}}}} \le \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \Rightarrow {S_{PQR}} \le \frac{1}{4}{S_{ABC}}\]
Dấu “=” xảy ra khi M là trọng tâm.
Sách thầy cô Vietjack biên soạn
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3}\left( {{y^2} + 3y + 3} \right) = 3{y^2}\\{y^3}\left( {{z^2} + 3z + 3} \right) = 3{z^2}\\{z^3}\left( {{x^2} + 3x + 3} \right) = 3{x^2}\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3}\left( {{y^2} + 3y + 3} \right) = 3{y^2}\\{y^3}\left( {{z^2} + 3z + 3} \right) = 3{z^2}\\{z^3}\left( {{x^2} + 3x + 3} \right) = 3{x^2}\end{array} \right.\)
Xem đáp án »
10/05/2025
14
Câu 2:
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 4x + 2y = 0\\{x^2} + 7{y^2} - 4xy + 6y = 13\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 4x + 2y = 0\\{x^2} + 7{y^2} - 4xy + 6y = 13\end{array} \right.\)
Xem đáp án »
10/05/2025
13
Câu 3:
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {3x + y} \right) = 4\\7{x^3} + 11 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right)\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {3x + y} \right) = 4\\7{x^3} + 11 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right)\end{array} \right.\)
Xem đáp án »
10/05/2025
13
Câu 4:
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{2}\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) = xy + \frac{1}{{xy}}\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{2}\\\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\left( {x + \frac{1}{y}} \right) = xy + \frac{1}{{xy}}\end{array} \right.\)
Xem đáp án »
10/05/2025
12
Câu 6:
Cho x2 + y2 – xy = 3; và x + y = \[\frac{2}{{{x^2} - xy + {y^2}}}\]. Chứng minh rằng x3 + y3 = 2
Cho x2 + y2 – xy = 3; và x + y = \[\frac{2}{{{x^2} - xy + {y^2}}}\]. Chứng minh rằng x3 + y3 = 2
Xem đáp án »
10/05/2025
12
Câu 7:
Giải phương trình \({x^2} - 6x + 2 = 2\left( {2 - x} \right)\sqrt {2x - 1} \)
Giải phương trình \({x^2} - 6x + 2 = 2\left( {2 - x} \right)\sqrt {2x - 1} \)
Xem đáp án »
10/05/2025
12
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
80 câu Bài tập Hình học Khối đa diện có lời giải chi tiết (P1)
-
148 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu từ đề thi Đại học có lời giải (P1)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
-
62 câu Trắc nghiệm Khái niệm về khối đa diện (nhận biết)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận