Câu hỏi:

10/05/2025 39

Cho tam giác ABC, M thuộc tam giác đó. AM, BM, CM cắt BC, CA, AB tại P, R, Q. Chứng minh:

a) MA.BC + MB.CA + MC .AB ≥ 4SABC

b) Xác định vị trí của M để diện tích tam giác PQR lớn nhất

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Chứng minh:  a) MA.BC + MB.CA + MC .AB  ≥ 4SABC (ảnh 1) 

Kẻ BE, CF vuông góc với AM.

Ta có:

MA.BC = MA.(BP + CP) ≥ MA.(BE + CF) = 2SABM + 2SCAM

Tương tự:

MB.CA ≥ 2SBCM + 2SABM

MC.AB ≥ 2SCAM + 2SBCM

Suy ra:

MA.BC + MB.CA + MC.AB ≥ 2(2SBCM + 2SABM + 2 SCAM) = 4SABC

Dấu “=” xảy ra khi M là trực tâm

b) SPQR = SABC – SAQR – SBPQ – SCRQ

Đặt \(\frac{{AQ}}{{QB}} = x;\frac{{BP}}{{PC}} = y;\frac{{CR}}{{RA}} = z\)

\(\frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{x}{{x + 1}};\frac{{AR}}{{AC}} = \frac{1}{{z + 1}}\)

\[\frac{{{S_{AQR}}}}{{{S_{ACB}}}} = \frac{{AQ}}{{AB}}.\frac{{AR}}{{AC}} = \frac{x}{{\left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right)}}\]

Tương tự: \[\frac{{{S_{BPQ}}}}{{{S_{ACB}}}} = \frac{y}{{\left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\]

\[\frac{{{S_{CRP}}}}{{{S_{CBA}}}} = \frac{z}{{\left( {z + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}}\]

\[\frac{{{S_{AQR}}}}{{{S_{ACB}}}} + \frac{{{S_{BPQ}}}}{{{S_{ACB}}}} + \frac{{{S_{CRP}}}}{{{S_{CBA}}}} = \frac{z}{{\left( {z + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}} + \frac{y}{{\left( {y + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{x}{{\left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right)}}\]

\[\frac{{{S_{PQR}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{xyz + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}}\]

Theo định lý Ceva có: xyz = 1 nên

\[\frac{{{S_{PQR}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{1 + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {z + 1} \right)\left( {y + 1} \right)}} = \frac{{1 + 1}}{{1 + xy + yz + zx + x + y + z + 1}}\]

Do xy + yz + zx + x + y + z\( \ge 6\sqrt[6]{{xyz}} = 6\)

Suy ra: \[\frac{{{S_{PQR}}}}{{{S_{ABC}}}} \le \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \Rightarrow {S_{PQR}} \le \frac{1}{4}{S_{ABC}}\]

Dấu “=” xảy ra khi M là trọng tâm.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2\left( {xy + 3x - y} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} + 4x - 2y = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

 Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:

2(xy + 3x – y) – 4x + 2y = 0

2xy + 2x = 0

2x(y + 1) = 0

Suy ra: x = 0 hoặc y = -1

+ Với x = 0, thay vào (2) ta có: y2 – 2y = 0 \(\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 2\end{array} \right.\)

+ Với y = -1, thay vào (2) ta có: x2 + 4x + 3 = 0 \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\)

Lời giải

Lời giải:

Thế kỉ XV bắt đầu từ năm 1501 đến năm 1600.

Câu 3

XIX là số mấy?

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay