Câu hỏi:

10/05/2025 33

Tìm x, y, z nguyên dương biết xyz = x + y + z + 9

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Không mất tính tổng quát ta giả sử 1 ≤ x ≤ y ≤ z

Chia cả 2 vế cho xyz > 0 ta được:

\(\frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}} + \frac{1}{{xy}} + \frac{9}{{xyz}} = 1\)

Vì 1 ≤ x ≤ y ≤ z nên x² ≤ xy ≤ xz ≤ yz ≤ xyz

Suy ra: \[1 = \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}} + \frac{1}{{xy}} + \frac{9}{{xyz}} \le \frac{{12}}{{{x^2}}}\]

Mà x nguyên nên x ∈ {1; 2; 3}

+ Với x = 1 thì \(\frac{1}{{yz}} + \frac{1}{z} + \frac{1}{y} + \frac{9}{{yz}} = 1\)

⇔ 1 + y + z + 9 = yz

⇔ (z – 1)(y – 1) = 11

Suy ra: \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}z - 1 = 1\\y - 1 = 11\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}z - 1 = 11\\y - 1 = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}z = 2\\y = 12\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}z = 12\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

⇒ (x;y;z) ∈ {(1;12;2), (1;2;12)}

+ Với x = 2 thì \(\frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{2z}} + \frac{1}{{2y}} + \frac{9}{{2yz}} = 1\)

⇔ y + z – 2yz + 11 = 0

⇔ 2y + 2z – 4yz + 22 = 0

⇔ (2z – 1)(2y – 1) = 23

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}2z - 1 = 1\\2y - 1 = 23\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 1\\y = 12\end{array} \right.\)

⇒ (x;y;z) ∈ {(2;12;1), (2;1;12)}

+ Với x = 3 thì \(\frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{3z}} + \frac{1}{{3y}} + \frac{9}{{3yz}} = 1\)

⇔ y + z + 3 + 9 = 3yz

⇔ 3y + 3z – 9yx + 36 = 0

⇔ (3z – 1)(3y – 1) = 37

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}3z - 1 = 1\\3y - 1 = 37\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \frac{2}{3} \notin \mathbb{Z}\\y = \frac{{38}}{3} \notin \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy (x;y;z) ∈ {(1;12;2), (1;2;12); (2;12;1), (2;1;12)}

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2\left( {xy + 3x - y} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} + 4x - 2y = 0\end{array} \right.\)

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2\left( {xy + 3x - y} \right) = 0\\{x^2} + {y^2} + 4x - 2y = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:

2(xy + 3x – y) – 4x + 2y = 0

2xy + 2x = 0

2x(y + 1) = 0

Suy ra: x = 0 hoặc y = -1

+ Với x = 0, thay vào (2) ta có: y² – 2y = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 2\end{array} \right.\)

+ Với y = -1, thay vào (2) ta có: x² + 4x + 3 = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\)

Câu 2

Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {3x + y} \right) = 4\\7{x^3} + 11 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right)\end{array} \right.\)

Xem đáp án

Lời giải

Lời giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {3x + y} \right) = 4\\7{x^3} + 11 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right)\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}xy\left( {3x + y} \right) = 4\\7{x^3} + 12 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right) + 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\7{x^3} + 12 = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right) + 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\7{x^3} + 3xy\left( {3x + y} \right) = 3\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 1} \right) + 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\{\left( {2x + y} \right)^3} = {\left( {x + y + 1} \right)^3}\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3xy\left( {3x + y} \right) = 12\\2x + y = x + y + 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = - 4\\x = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 4\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy (x;y) = (1;4) , (1;-4)

Câu 3