Câu hỏi:
10/05/2025 3
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \[\sqrt {{x^2} + mx + 2} = 2x + 1.\]
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \[\sqrt {{x^2} + mx + 2} = 2x + 1.\]
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
Cách 1: Xét phương trình: \[\sqrt {{x^2} + mx + 2} = 2x + 1\]
Với \[x \ge - \frac{1}{2}\], ta có:
x2 + mx + 2 = (2x + 1)2
x2 + mx + 2 = 4x2 + 4x + 1
3x2 + (4 – m)x – 1 = 0
Phương trình trên có ∆ = (4 – m)2 – 4.3.(– 1) = (4 – m)2 + 12 > 0 với mọi m.
Như vậy, phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{m - 4}}{3}\\{x_1}{x_2} = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì \[{x_1} \ge - \frac{1}{2},\,\,{x_2} \ge - \frac{1}{2}\]
Suy ra \[{x_1} + \frac{1}{2} \ge 0,\,\,{x_2} + \frac{1}{2} \ge 0\]
Do đó \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_1} + \frac{1}{2}} \right) + \left( {{x_2} + \frac{1}{2}} \right) \ge 0\\\left( {{x_1} + \frac{1}{2}} \right)\left( {{x_2} + \frac{1}{2}} \right) \ge 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \ge - \frac{1}{4}\\{x_1}{x_2} + \frac{1}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \frac{1}{4} \ge 0\end{array} \right.\]
Nên \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{m - 4}}{3} \ge - \frac{1}{4}\\ - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{{m - 4}}{3} + \frac{1}{4} \ge 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ge \frac{{13}}{4}\\m \ge \frac{9}{2}\end{array} \right.\] do đó \[m \ge \frac{9}{2}\].
Vậy \[m \ge \frac{9}{2}\] thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cách 2: Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì
2x + 1 ≥ 0 và x2 + mx + 2 = (2x + 1)2
\[x \ge - \frac{1}{2}\] và mx = 3x2 + 4x ‒1 (*)
Xét phương trình (*)
Với x = 0, suy ra 0x = ‒1 (vô nghiệm)
Với x ≠ 0 suy ra \[3x + 4 - \frac{1}{x} = m\]
Xét hàm số \[f\left( x \right) = 3x + 4 - \frac{1}{x}\] trên tập \[\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right) \setminus \left\{ 0 \right\}\]
\[f'\left( x \right) = 3 + \frac{1}{{{x^2}}} > 0\] với mọi x ∈ \[\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right) \setminus \left\{ 0 \right\}\]
Giới hạn:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ \pm }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ \pm }} \left( {3x + 4 - \frac{1}{x}} \right) = \mp \infty ;\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3x + 4 - \frac{1}{x}} \right) = + \infty \]
Bảng biến thiên:
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \[f\left( x \right) = 3x + 4 - \frac{1}{x}\] và đường thẳng y = m trên miền \[\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\] ∖ {0}
Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là \[m \ge \frac{9}{2}.\]
Sách thầy cô Vietjack biên soạn
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A và AH vuông góc với BC (H thuộc BC).
a) Chứng minh \[\widehat {BAH} = \widehat {BCA}.\]
b) Tia phân giác của \[\widehat {BAH}\] cắt CH tại K. Chứng minh \[\widehat {AKH} = \widehat {CAK}.\]
Cho tam giác ABC vuông tại A và AH vuông góc với BC (H thuộc BC).
a) Chứng minh \[\widehat {BAH} = \widehat {BCA}.\]
b) Tia phân giác của \[\widehat {BAH}\] cắt CH tại K. Chứng minh \[\widehat {AKH} = \widehat {CAK}.\]
Xem đáp án »
10/05/2025
13
Câu 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH (H ∈ BC). Biết AB = 3 cm, AC = 4 cm.
a) Chứng minh ∆HBA ᔕ ∆ABC.
b) Tính độ dài đường cao AH.
c) Đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) cắt AH, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh MA.NA = MH.NC.
Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH (H ∈ BC). Biết AB = 3 cm, AC = 4 cm.
a) Chứng minh ∆HBA ᔕ ∆ABC.
b) Tính độ dài đường cao AH.
c) Đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) cắt AH, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh MA.NA = MH.NC.
Xem đáp án »
10/05/2025
12
Câu 3:
Cho f(x) = ax2 + bx + c nhận giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên của x. Chứng minh rằng 2a, a + b và c là các số nguyên.
Cho f(x) = ax2 + bx + c nhận giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên của x. Chứng minh rằng 2a, a + b và c là các số nguyên.
Xem đáp án »
10/05/2025
11
Câu 4:
Cho hình bình hành ABCD. Ở miền trong hình bình hành ABCD vẽ hình bình hành A’B’C’D’. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AA’, BB’, CC’, DD’. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Cho hình bình hành ABCD. Ở miền trong hình bình hành ABCD vẽ hình bình hành A’B’C’D’. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AA’, BB’, CC’, DD’. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Xem đáp án »
10/05/2025
11
Câu 5:
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BO, AO. Lấy điểm F trên cạnh AB sao cho tia FM cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K. Chứng minh rằng: \[\frac{{BA}}{{BF}} + \frac{{BC}}{{BE}} = 4\].
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BO, AO. Lấy điểm F trên cạnh AB sao cho tia FM cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K. Chứng minh rằng: \[\frac{{BA}}{{BF}} + \frac{{BC}}{{BE}} = 4\].
Xem đáp án »
10/05/2025
11
Câu 6:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H, I, K lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, M là giao điểm của AI và KD, N là giao điểm của DH và CI.
a) Chứng minh rằng SM // (ABCD).
b) Chứng minh rằng (SMN) // (ABCD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H, I, K lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, M là giao điểm của AI và KD, N là giao điểm của DH và CI.
a) Chứng minh rằng SM // (ABCD).
b) Chứng minh rằng (SMN) // (ABCD).
Xem đáp án »
10/05/2025
11
Câu 7:
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh DC lấy điểm M sao cho \[DM = \frac{1}{3}DC.\] Biết AD = 15cm, AB = 24cm. Tính:
a) Chu vi hình chữ nhật ABCD.
b) Diện tích tam giác AMC.
c) Tính tỉ số phần trăm diện tích của hình tam giác ADM và hình thang ABCM.
Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh DC lấy điểm M sao cho \[DM = \frac{1}{3}DC.\] Biết AD = 15cm, AB = 24cm. Tính:
a) Chu vi hình chữ nhật ABCD.
b) Diện tích tam giác AMC.
c) Tính tỉ số phần trăm diện tích của hình tam giác ADM và hình thang ABCM.
Xem đáp án »
10/05/2025
11
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
80 câu Bài tập Hình học Khối đa diện có lời giải chi tiết (P1)
-
148 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu từ đề thi Đại học có lời giải (P1)
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
-
62 câu Trắc nghiệm Khái niệm về khối đa diện (nhận biết)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận