Câu hỏi:

10/05/2025 67

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \[\sqrt {{x^2} + mx + 2} = 2x + 1.\]

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải:

Cách 1: Xét phương trình: \[\sqrt {{x^2} + mx + 2} = 2x + 1\]

Với \[x \ge - \frac{1}{2}\], ta có:

x2 + mx + 2 = (2x + 1)2

x2 + mx + 2 = 4x2 + 4x + 1

3x2 + (4 – m)x – 1 = 0

Phương trình trên có ∆ = (4 – m)2 – 4.3.(– 1) = (4 – m)2 + 12 > 0 với mọi m.

Như vậy, phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{m - 4}}{3}\\{x_1}{x_2} = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì \[{x_1} \ge - \frac{1}{2},\,\,{x_2} \ge - \frac{1}{2}\]

Suy ra \[{x_1} + \frac{1}{2} \ge 0,\,\,{x_2} + \frac{1}{2} \ge 0\]

Do đó \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_1} + \frac{1}{2}} \right) + \left( {{x_2} + \frac{1}{2}} \right) \ge 0\\\left( {{x_1} + \frac{1}{2}} \right)\left( {{x_2} + \frac{1}{2}} \right) \ge 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \ge - \frac{1}{4}\\{x_1}{x_2} + \frac{1}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \frac{1}{4} \ge 0\end{array} \right.\]

Nên \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{m - 4}}{3} \ge - \frac{1}{4}\\ - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{{m - 4}}{3} + \frac{1}{4} \ge 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}m \ge \frac{{13}}{4}\\m \ge \frac{9}{2}\end{array} \right.\] do đó \[m \ge \frac{9}{2}\].

Vậy \[m \ge \frac{9}{2}\] thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Cách 2: Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì

2x + 1 ≥ 0 và x2 + mx + 2 = (2x + 1)2

\[x \ge - \frac{1}{2}\] và mx = 3x2 + 4x ‒1 (*)

Xét phương trình (*)

Với x = 0, suy ra 0x = ‒1 (vô nghiệm)

Với x ≠ 0 suy ra \[3x + 4 - \frac{1}{x} = m\]

Xét hàm số \[f\left( x \right) = 3x + 4 - \frac{1}{x}\] trên tập \[\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right) \setminus \left\{ 0 \right\}\]

\[f'\left( x \right) = 3 + \frac{1}{{{x^2}}} > 0\] với mọi x \[\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right) \setminus \left\{ 0 \right\}\]

Giới hạn:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ \pm }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ \pm }} \left( {3x + 4 - \frac{1}{x}} \right) = \mp \infty ;\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3x + 4 - \frac{1}{x}} \right) = + \infty \]

Bảng biến thiên:

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt: (ảnh 1)

Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \[f\left( x \right) = 3x + 4 - \frac{1}{x}\] và đường thẳng y = m trên miền \[\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\] {0}

Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là \[m \ge \frac{9}{2}.\]

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải:

Tính khoảng cách từ C đến (SBD). (ảnh 1) 

ABCD là hình vuông nên OA = OC

Suy ra d(A, (SBD)) = d(C, (SBD))

Kẻ AH SO

BD AO, BD SA nên BD (SAO).

Suy ra BD AH.

AH (SBD) nên d(A,(SBD)) = AH

Xét tam giác SAO: \[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{O^2}}}\]

SA = 3a, \[AO = a\sqrt 2 \], suy ra \[AH = \frac{{3a\sqrt {22} }}{{11}}\]

Vậy khoảng cách từ C đến (SBD) bằng \[\frac{{3a\sqrt {22} }}{{11}}.\]

Lời giải

Lời giải:

Ta có: f(0) = a.02 + b.0 + c = c

f(1) = a.12 + b.1 + c = a + b + c 

Nên a + b 

f(2) = a.22 + b.2 + c = 4a + 2b + c 

mà 4a + 2b + c = 2a + 2a + 2b + c = 2a + 2(a + b) + c

Nên 2a  .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay