Chiến và Thuật chơi một trò chơi. Chiến bốc bi trước, ai bốc lượt cuối cùng là thắng. Mỗi lần có thể bốc 2, 3 hoặc 4 viên. Hỏi:

a) Có 12 viên bi, ai có chiến thuật để luôn thắng? Chỉ ra cách bốc đó.

b) Nếu Chiến có chiến thuật để thắng thì cần bao nhiêu viên bi. Vì sao?

a) Có 12 viên bi. Do đó, Thuật sẽ có chiến thuật để luôn là người chiến thắng bằng cách như sau: Lượt đầu tiên. Chiến bốc. Tiếp đó Thuật sẽ bốc sao cho tổng số bi của Thuật và số bi của Chiến ở lượt bốc trước đó bằng 6.

Sau đó còn lại 6 viên. Bây giờ Chiến bốc 2, 3 hay 4 viên thì vẫn còn lại tương ứng là 4, 3 hay 2 viên. Và Thuật sẽ bốc số bi còn lại đó, do đó Thuật là người chiến thắng

b) Muốn Chiến là người chiến thắng thì số bi ban đầu phải chia cho 6 dư 2, 3 hoặc 4.

Thật vậy:

Giả sử số bị chia cho 6 dư 2. Khi đó:

Lần đầu tiên, Chiến bốc 2 viên. Do đó, số bi còn lại là số chia hết cho 6.

Tiếp đó đến lượt Thuật bốc. Sau khi Thuật bốc, Chiến sẽ bốc một số bị sao cho tổng số bị của Thuật và Chiến vừa bốc bằng 6.

Cứ tiếp tục như vậy Chiến sẽ là người bốc cuối cùng và Chiến luôn thắng.

Tương tự với trường hợp số bị chia cho 6 dư 3, 4. Khi đó, lần đầu tiên Chiến sẽ bốc tương ứng 3, 4 viên sau đó với cách bốc như trường hợp dư 2 đã nêu ở trên, Chiến cũng sẽ luôn thắng.