Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi có AC = 4 và BD = 6. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Khi đó:

a) Hình chiếu song song của M lên mặt phẳng (ABCD) theo phương SO là trung điểm K của AO.

b) \(\frac{{KO}}{{AC}} = \frac{1}{3}\).

c) Hình chiếu song song của tam giác SMN lên mặt phẳng (ABCD) theo phương SO là tam giác cân.

d) Diện tích hình chiếu song song của tam giác SMN theo phương SO lên mặt phẳng (ABCD) bằng \(\frac{3}{4}\).

a) Trong mặt phẳng (SAC), kẻ MK // SO (K Î AO).

Suy ra K là hình chiếu song song của M trên (ABCD) theo phương SO.

Xét DSAO có MK // SO mà M là trung điểm của SA nên K là trung điểm của AO.

b) Vì K là trung điểm của AO nên \(\frac{{KO}}{{AO}} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \frac{{KO}}{{\frac{1}{2}AC}} = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow \frac{{KO}}{{AC}} = \frac{1}{4}\).

c) O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) theo phương SO;

K là hình chiếu của M trên mặt phẳng (ABCD) theo phương SO;

Trong mặt phẳng (SBO), kẻ NI // SO nên I là hình chiếu của N trên mặt phẳng (ABCD) theo phương SO.

Suy ra hình chiếu của DSMN trên mặt phẳng (ABCD) là DOKI theo phương SO.

Vì ABCD là hình thoi nên AC ^ BD nên OK ^ OI. Do đó DOKI vuông tại O.

d) Vì \(\frac{{KO}}{{AC}} = \frac{1}{4} \Rightarrow KO = \frac{{AC}}{4} = 1\)

Tương tự \(OI = \frac{1}{4}BD = \frac{1}{4}.6 = \frac{3}{2}\).

Do đó \[{S_{\Delta OKI}} = \frac{1}{2}.OK.OI = \frac{1}{2}.1.\frac{3}{2} = \frac{3}{4}\].

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.